적분 공식 정리(적분공식 모음)

1. 부정적분의 정의

$\int f(x) dx = F(x) + C$ (단, $C$는 적분상수)

 

이때 $F(x)$를 $f(x)$의 부정적분이라 한다.

 

2. 부정적분의 공식

(1) $\int k dx = kx+C$

(2) $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ (단, $n \neq -1 $)

(3) $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

(4) $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$

(5) $\int \{ f(x) \pm g(x) \} dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

 

3. 삼각함수의 부정적분

(1) $\int \sin x dx = -\cos x +C$

(2) $\int \cos x dx = \sin x + C$

(3) $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

(4) $\int \csc^2 x dx = - \cot x + C$

(5) $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$

(6) $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

 

4. 지수함수의 부정적분

(1) $\int e^x dx = e^x + C$

(2) $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

 

5. 치환적분법

미분가능한 함수 $g(t)$에 대하여 $x = g(t)$라 하면

 

$\int f(x) dx = \int f(g(t))g'(t) dt$

 

6. 부분적분법

$\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$

 

7. 로그함수의 부정적분

$\int \ln x dx = x \ln x -x + C$

 

8. 정적분의 기본정리

함수 $f(x)$의 부정적분 중 하나를 $F(x)$라 하면

 

$\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$

 

9. 정적분의 성질

(1) $\int_a^a f(x)dx =0$

(2) $\int_a^b f(x)dx = - \int_b^a f(x)dx $

(3) $\int_a^b kf(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$

(4) $\int_a^b \{ f(x) \pm g(x) \} dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$

(5) $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

(6) $\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha ) (x- \beta ) dx = -\frac{a}{6} (\beta - \alpha)^3 = \frac{a}{6} (\alpha -\beta)^3 $

 

10. 기함수, 우함수의 정적분

(1) $f(x)$가 기함수이면, $\int_{-a}^a f(x)dx =0$

(2) $f(x)$가 우함수이면, $\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$

 

11. 정적분으로 정의된 함수

(1) $\lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_a^x f(t)dt = f(a)$

(2) $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$

 

12. 무한급수의 정적분 표현

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(a+\frac{(b-a)}{n}k) \cdot \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)dx$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f(a+\frac{p}{n}k) \cdot \frac{p}{n} = \int_a^{a+p} f(x)dx$

 

13. 두 곡선 사이의 넓이

(1) 구간 $[a,b]$에서 $f(x) \geq g(x)$일 때, $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$은

 

$S_1 = \int_a^b \{ f(x)-g(x) \}$

 

(2) 구간 $[c,d]$에서 $f(y) \geq g(y)$일 때, $x=f(y)$와 $x=g(y)$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_2$는

 

$S_2 = \int_c^d \{ f(y)-g(y) \} dy$

 

14. 입체의 부피

$x$축에 수직인 평면으로 어떤 입체를 자를 때, 자른 단면의 넓이가 $S(x)$이면, 이 입체의 $x=a$와 $x=b$ (단, $a<b$) 사이에 있는 부분의 부피 $V$는

 

$V = \int_a^b S(x)dx$

 

15. 회전체의 부피

(1) 곡선 $y=f(x)$ (단, $a \leq x \leq b$ ) 를 $x$축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 $V_1$이라고 하면,

 

$V_1 = \int_a^b \pi y^2 dx = \int_a^b \pi \{  f(x) \}^2 dx$

 

(2) 곡선 $x=g(y)$ (단, $c \leq y \leq d$ ) 를 $y$축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 $V_2$라고 하면,

 

$V_2 = \int_a^b \pi x^2 dy = \int_a^b \pi \{  g(y) \}^2 dy $