1. 연산법칙
(1) 결합법칙 : $a+(b+c) = (a+b)+c$, $a(bc) = (ab)c$
(2) 교환법칙 : $a+b = b+a$, $ab=ba$
(3) 분배법칙 : $a(b+c) = ab+ac$
2. 분수계산
(1) $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$
(2) $\frac{a-b}{c-d} = \frac{b-a}{d-c}$
(3) $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$
3. 이차방정식의 근의 공식
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$이고, $a \neq 0$일 때,
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 이다.
4. 삼차방정식의 근과 계수와의 관계
삼차방정식 $ax^2+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하면,
(1) $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha =\frac{c}{a}$
(3) $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
5. 지수계산(1)
(1) $a^na^m = a^{m+n}$
(2) $(a^n)^m =a^{nm}$
(3) $(ab)^n = a^nb^n$
(4) $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
(5) $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n = \frac{b^n}{a^n}$
6. 지수계산(2)
(1) $a^0 =1 $, ($a \neq 0$)
(2) $a^{\frac{n}{m}} = (a^n)^{\frac{1}{m}} = (a^{\frac{1}{m}})^n$
(3) $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
7. 제곱근 계산(1)
(1) $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
(2) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$
(3) $\sqrt[n]{ab}= \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
(4) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
8. 제곱근 계산(2)
(1) $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
(2) $\sqrt[n]{a^n} = a$ ($n$은 홀수)
(3) $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ ($n$은 짝수)
9. 로그계산(1)
(1) $n = \log_x m \Rightarrow m=x^n$
(2) $\log_x x =1$, $\log_x 1 =0$
(3) $\log_m m^x =x$
(4) $m^{\log_m x} =x$
10. 로그계산(2)
(1) $\log_n m =\frac{\log_x m }{\log_x n}$
(2) $\log_m (x)^n = n \log_m x$
(3) $\log_x mn = \log_x m + \log_x n$
(4) $\log_x (\frac{m}{n}) = \log_x m - \log_x n$
11. 곱셈공식의 변형
(1) $x^2 + y^2 = (x \pm y)^2 \mp 2xy$
(2) $x^3 \pm y^3 = (x \pm y)^3 \mp 3xy(x \pm y)$
(3) $x^2 +y^2 +z^2 = (x+y+z)^2 -2(xy+yz+zx)$
12. 인수분해 공식
(1) $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$
(2) $x^2 \pm 2xy +y^2 =(x \pm y)^2$
(3) $x^3 + 3x^2 y +3xy^2+y^3 = (x+y)^3$
(4) $x^3 \pm y^3 = (x \pm y) ( x^2 \mp xy +y^2)$
(5) $x^4 + x^2y^2 +y^4 = (x^2 +xy+y^2 )(x^2 -xy+y^2)$
(6) $x^3 + y^3 +z^3 -3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy-yz-zx)$
13. 복소수 계산
(1) $\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$, ($a \geq 0$)
(2) $(a+bi)\pm (c+di) = a \pm c + (b \pm d) i$
(3) $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$
(4) $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$
(5) $\overline{a+bi} = a-bi$
(6) $(a+bi)\overline{(a+bi)} = |a-bi|^2$
14. 절댓값 성질
$a$, $b$가 실수일때
(1) $|a| >0$
(2) $|-a| = |a|$
(3) $|a|^2 = a^2$
(4) $|ab| = |a| |b|$
(5) $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$
15. 절댓값 계산
$a$, $b$ 가 실수일때
$|a| + |b| \geq |a+b| \geq ||a|-|b||$
16. 가우스 기호
$x$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[x]$ 라 할 때,
$n \leq x < n+1$이면 $[x] = n$이다. (단, $n$은 정수이다.)
17. 산술, 기하, 조화평균
두 양수 $a>0$, $b>0$에 대해서
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ (※ 등호는 $a=b$ 일때 성립한다.)
18. 코시-슈바르츠 부등식
$a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ 가 실수일때
(1) $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geq (ax+by)^2$
(단, 등호는 $a:b = x:y$에서 성립한다.)
(2) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geq (ax+by+cz)^2$
(단, 등호는 $a:b:c = x:y:z$에서 성립한다.)
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