중심각이 원주각의 두배인 이유

원주각, 중심각이란 무엇인가?

원주각, 중심각

원주각이란? 한 점을 공유하고 있는 두 현이 원의 내부에서 이루는 각의 크기를 원주각이라 한다. 그림상으로 보면 선분 AB와 선분 BC가 이루는 각이다.

 

중심각이란? 원의 중심을 기준으로 원 위의 두 점과 연결된 각각의 선분이 이루는 각의 크기를 중심각이라 한다. 그림상으로 보면 선분 OB와 선분 OC가 이루는 각이다.

 

현(여기서는 선분 BC)의 길이가 같으면, 원주각의 크기는 모두 같고, 중심각은 원주각의 두배이다. 지금부터 그 이유를 삼각형의 형태에 따라 나눠서 증명해보자.

 

중심각이 원주각의 두배인 이유?

1. 외심이 삼각형 안에 있는 경우

외심이 삼각형 안에 있는 경우

먼저 꼭짓점 A에서 외심으로 직선을 그으면, 그 직선과 원의 교점을 D라 하자. 삼각형 OAB와 삼각형 OAC는 반지름이 같으므로 이등변삼각형이다. 따라서 두 밑각이 같다. 이 떄, 삼각형의 외각은 건너편 두 내각의 합과 같으므로 두배가 됨을 쉽게 알 수 있다.

 

2. 외심이 삼각형의 밖에 있는 경우

외심이 삼각형 밖에 있는 경우

삼각형 OAC는 이등변삼각형이므로 $\angle C = x+y$이다. 삼각형의 외각이므로 $\angle COD = 2x+2y$ 이다. 그런데 원주각의 성질에 의해 $\angle BOD = 2y$이다. $2x+2y-2y=2x$ 이므로 원주각은 $2x$이다.