사다리꼴의 중점연결정리 알아보기

사다리꼴의 중점연결정리란?

사다리꼴의 중점연결정리

사다리꼴 $\rm ABCD$에서 점 $\rm M$, $\rm N$이 각각 선분 $\rm AB$, $\rm CD$의 중점일 때

$\overline{\rm MN} = \frac{1}{2} (\overline{\rm AD} + \overline{\rm BC})$ 가 성립한다.

또한, $\overline{\rm AD} // \overline{\rm MN}$ 이 성립한다.

 

증명하기

사다리꼴 증명

위의 그림과 같이 보조선 $\overline{\rm AC}$를 그려서 생각하자. $\bigtriangleup \rm ABC$와 $\bigtriangleup \rm ACD$에서 삼각형의 중점연결정리를 적용하면, $\overline{MP} = \frac{1}{2} \overline{BC}$, $\overline{PN} = \frac{1}{2} \overline{AD}$ 가 성립한다. 따라서 $\overline{\rm MN} = \overline{\rm MP} + \overline{\rm PN} = \frac{1}{2} \overline{\rm BC} +\frac{1}{2} \overline{\rm AD} = \frac{1}{2} (\overline{\rm AD} + \overline{\rm BC})$ 이다.

 

$\therefore \overline{\rm MN} = \frac{1}{2} (\overline{\rm AD} + \overline{\rm BC})$

 

평행임을 증명하는 다른 방법

또한 선분 $\rm AB$와 선분 $\rm CD$의 연장선을 그을 때, 그 교점을 $\rm G$라 하자. 다음 그림에 의해 $a:b = c:d$ 이므로 $a:\frac{b}{2} = c: \frac{d}{2}$가 성립한다.

따라서 삼각형의 중점연결정리에 의해 $\overline{\rm AD} // \overline{\rm MN}$ 이다..

 

삼각형의 중점연결정리 증명하기