삼각형의 외각의 이등분선 정리 알아보기

삼각형의 외각의 이등분선 정리

삼각형의 외각의 이등분선

$\bigtriangleup \rm ABC$의 $\angle \rm A$의 외각의 이등분선과 변 $\rm BC$의 연장선과의 교점을 $\rm D$라 할 때,

 

$\overline{\rm AB} : \overline{\rm AC} = \overline{\rm BD} : \overline{\rm CD}$ 이다.

 

또한 위의 역 정리 또한 성립한다. 즉, $\bigtriangleup \rm ABC$에서 변 $\rm BC$의 연장선 위의 한 점 $\rm D$에 대하여 $\overline{\rm AB} : \overline{\rm AC} = \overline{\rm BD} : \overline{\rm CD}$가 성립하면, 선분 $\rm AD$는 $\angle \rm BAC$의 외각의 이등분선이다.

 

증명하기

($\Rightarrow$)

증명1

내각의 이등분선에 의해

 

$\rm D$에서 각의 이등분선을 긋는다. $\rm \bigtriangleup ACD \equiv \bigtriangleup AED$이므로

 

$\overline{\rm AE} = \overline{\rm AC}$이고, $\overline{\rm CD} = \overline{\rm DE}$ 이다. 따라서

 

$\overline{\rm AB} : \overline{\rm AE} = \overline{\rm BD} : \overline{\rm DE}$ $\Rightarrow$ $\overline{\rm AB} : \overline{\rm AC} = \overline{\rm BD} : \overline{\rm DC}$ 가 성립한다.

 

($\Leftarrow$)

증명2

$\overline{\rm AE} = \overline{\rm AC}$ 인 $\rm E$를 잡으면, $\overline{\rm AB} : \overline{\rm AC} = \overline{\rm BD} : \overline{\rm CD}$이고 $\overline{\rm AB} : \overline{\rm AE} = \overline{\rm BD} : \overline{\rm CD}$이다. 삼각형의 닮음에 의해 $\overline{\rm AD} // \overline{\rm EC}$이다.

 

$\bigtriangleup \rm AEC$가 이등변 삼각형이므로 $\angle \rm AEC = \angle \rm ACE$이고, 삼각형의 외각에 의해 선분 $\rm AD$는 $\angle \rm BAC$의 외각의 이등분선이다.