바리뇽의 정리 알아보기

사각형 안에서 반드시 평행사변형을 만들 수 있는 바리뇽의 정리를 알아보자.

 

바리뇽의 정리

임의의 사각형에의 각 변에 중점을 그려 이으면 평행사변형이 된다.

 

아무런 사각형(볼록, 오목, 교차 등)이나 상관없이 각 변의 중점을 이으면 평행사변형이 될 수 있는지 살펴보자.

 

1. 볼록 사각형

볼록사각형

볼록 사각형 ABCD에서 선분 AC, 선분 BD를 긋는다. 즉 대각선을 긋는다. 선분 BD를 기준으로 삼각형 ABC에서 선분 AB의 중점을 E, 선분 AD의 중점을 H라 하면, 삼각형의 중점연결정리에 의해 선분 EH와 BD는 서로 평행하다. 마찬가지로 삼각형 BCD에서 선분 BC의 중점을 F, 선분 CD의 중점을 G라 하면, 삼각형의 중점연결정리에 의해 선분 BD와 선분 FG는 서로 평행하다. 따라서 선분 EH와 FG는 평행하다.

같은 방법으로 삼각형의 중점연결정리를 사용하면 선분 EF와 GH 역시 평행하다. 사각형의 두 대변이 서로 평행하므로 사각형 EFGH는 평행사변형이다.

 

2. 오목 사각형

오목사각형

오목 사각형 ABCD에서 선분 BC와 AD를 긋는다. 선분 BC를 기준으로 삼각형 ABC에서 선분 AB의 중점을 E, 선분 AC의 중점을 H라 하면, 삼각형의 중점연결정리에 의해 선분 EH와 BC는 서로 평행하다. 마찬가지로 삼각형 BCD에서 선분 BD의 중점을 F, 선분 CD의 중점을 G라 하면, 삼각형의 중점연결정리에 의해 선분 BC와 선분 FG는 서로 평행하다. 따라서 선분 EH와 BC는 평행하다.

같은 방법으로 삼각형의 중점연결정리를 이용하면, 선분 EH와 FG도 평행하다. 따라서 사각형 EFGH는 평행사변형이다.

 

3. 교차사각형

교차사각형

교차 사각형 ABDC에서 선분 AD와 BC를 긋는다. 선분 AD를 기준으로 삼각형 ABC에서 선분 AB의 중점을 E, 선분 BD의 중점을 F라 하면, 삼각형의 중점연결정리에 의해 EF와 AD는 서로 평행하다. 마찬가지로 삼각형 ACD에서 선분 AC의 중점을 H, 선분 CD의 중점을 G라 할 때 삼각형의 중점연결정리에 의해 선분 AD와 GH는 서로 평행하다. 따라서 선분 AD와 GH는 평행하다.

같은 방법으로 삼각형의 중점연결정리를 이용하면 선분 EH와 FG도 평행하다. 따라서 사각형 EFGH는 평행사변형이다.

 

1,2,3에 의해 임의의 사각형의 모든 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 평행사변형이다.

 

삼각형의 중점연결정리 증명하기