728x90 분류 전체보기698 최대 최소 정리 증명하기 최대 최소 정리 $f(x)$가 $[a,b]$에서 연속이면, $f(x)$는 최댓값, 최솟값을 갖는다. 증명하기 $f(x)$ 가 위로 유계가 아니라고 가정하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n \in [a,b]$이고, $f(a_n)>n$ 인 수열 $\{ a_n \}$을 설정하자. 이때 $a_n$은 유계이므로 B-W 정리에 의해 수렴하는 부분수열 $\{ a_{n_k} \} $ 를 갖는다. 이때, $\lim_{n \to \infty}a_{n_k}=A$ ($A \in [a,b]$) 라 하면 $f$ 가 연속함수이므로 $\lim_{k \to \infty}f(a_{n_k})=f(A)$를 만족한다. 그러나 $\lim_{n \to \infty}f(a_{n_k})> \lim_{n \to \infty}n_k = \in.. 2022. 11. 4. 단조수렴정리 증명하기 단조수렴정리 수열 $\{ a_n \}$ 이 위로 유계 $\Leftrightarrow$ 수열 $\{ a_n \}$ 이 수렴 증명하기 ($\Rightarrow$) $A= \{ a_n | n \in N \} $ 라 하자. 집합 $A$ 가 위로 유계이므로 실수집합 $R$ 의 완비성 공리에 의해 상한(최소상계)이 존재한다. 이를 $\alpha = \rm supA$ 라 하자. 임의의 $ \epsilon >0$ 에 대하여 어떤 자연수 $N$이 존재하여 $\alpha - \epsilon < a_N \leq \alpha $ 를 만족한다. ($\because \alpha $ 가 상한이기 때문) (1) 모든 $n \in N$에서 $a_n \leq \alpha - \epsilon$ 라 하면, $\alpha - \epsilon.. 2022. 11. 4. 볼차노 바이어슈트라스 정리(B-W 정리) 증명하기 볼차노 바이어슈트라스 정리 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. 증명방법 $x_n$을 유계 수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 $n$에 대하여 $|x_n| \leq M $을 만족한다. 이 때, $[-M,0]$, $[0.M]$ 중 적어도 하나는 무한개의 항을 포함한다. 무한개 $x_n$ 이 있는 구간을 $I_1$ 이라고 하고, $I_1$에 속한 $x_n$ 중 가장 작은 것을 $x_{n_1}$ 이라 하자. 다시 $I_1$을 절반으로 나누고 무한개의 항이 있는 쪽을 $I_2$라고 하자. $I_2$ 에 속한 $x_n$ 중 가장 작은 것을 $x_{n_2}$ 라 하자. 이 과정을 반복하면, $I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots $ 이고, 구간 $I_n$의 길.. 2022. 11. 4. 축소구간정리 증명하기 축소구간정리는 완비성공리, 단조수렴정리, 코시수열의 수렴과 동치이다. 축소구간정리의 증명방법을 간단하게 살펴보자. 축소 구간 정리 공집합이 아닌 유계 닫힌구간열 $\{ I_n \}$ 에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$이면, $\cap _{n=1} ^{\infty}I_n = I_1\cap I_2 \cap I_3 \cap \cdots \neq \emptyset$ 을 만족한다. 증명방법 닫힌 구간열을 $I_n = [a_n,b_n]$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$ 이므로 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq .. 2022. 11. 4. 이전 1 ··· 163 164 165 166 167 168 169 ··· 175 다음 728x90
