연립부등식과 절댓값을 포함한 부등식 풀이법

부등식은 특정 범위 내에서 변수의 값을 찾는 문제를 다룰 때 매우 유용합니다. 특히, 연립부등식과 절댓값을 포함한 부등식은 시험에서도 자주 출제되는 유형입니다. 이번 글에서는 연립부등식과 절댓값을 포함한 부등식의 개념과 풀이법을 쉽게 설명하겠습니다.

연립부등식 풀이법

연립부등식이란?

연립부등식은 두 개 이상의 부등식을 동시에 만족하는 해를 구하는 문제입니다. 예를 들어 다음과 같은 연립부등식을 살펴보겠습니다.

\( 2x + 3 > 7 \) \( x - 2 \leq 5 \)

연립부등식 풀이 방법

각 부등식을 따로 풀고, 두 부등식의 공통된 해를 찾으면 됩니다.

첫 번째 부등식:

\( 2x + 3 > 7 \) \( 2x > 4 \) \( x > 2 \)

두 번째 부등식:

\( x - 2 \leq 5 \) \( x \leq 7 \)

이제 두 부등식의 해를 합쳐서 공통 범위를 찾습니다.

\( 2 < x \leq 7 \)

따라서 해는 \( 2 < x \leq 7 \)입니다.

절댓값을 포함한 부등식 풀이법

절댓값 부등식의 기본 개념

절댓값 부등식은 절댓값을 포함하는 형태의 부등식을 의미합니다. 절댓값을 포함한 부등식을 풀 때는 절댓값의 정의를 활용하여 경우를 나누어 해결합니다.

절댓값이 작은 경우 (\( |x| < a \))

절댓값이 어떤 값보다 작다는 의미는 해당 값이 특정 범위 내에 있다는 뜻입니다.

\( |x - 3| < 5 \)

이는 다음과 같이 해석할 수 있습니다.

\( -5 < x - 3 < 5 \)

각 항에 3을 더하면

\( -2 < x < 8 \)

따라서 해는 \( -2 < x < 8 \)입니다.

절댓값이 큰 경우 (\( |x| > a \))

절댓값이 특정 값보다 크다는 것은 두 방향으로 멀어지는 경우를 의미합니다.

\( |x - 1| \geq 4 \)

이는 다음과 같이 해석할 수 있습니다.

\( x - 1 \geq 4 \) 또는 \( x - 1 \leq -4 \)

각 항에 1을 더하면

\( x \geq 5 \) 또는 \( x \leq -3 \)

따라서 해는 \( x \geq 5 \) 또는 \( x \leq -3 \)입니다.

연립부등식과 절댓값 부등식의 결합 문제

예제: 다음 연립부등식을 만족하는 \( x \)의 범위를 구하세요.

\( |x - 2| < 3 \) \( x + 1 > 0 \)

1. 절댓값 부등식 풀기

절댓값을 풀어보면:

\( -3 < x - 2 < 3 \)

각 항에 2를 더하면

\( -1 < x < 5 \)

2. 두 번째 부등식 풀기

\( x + 1 > 0 \) \( x > -1 \)

3. 공통된 해 구하기

첫 번째 부등식에서 \( -1 < x < 5 \), 두 번째 부등식에서 \( x > -1 \)이므로, 공통된 해는

\( -1 < x < 5 \) (변화 없음)

결론

연립부등식과 절댓값이 포함된 부등식은 각각 따로 풀고 공통된 해를 찾는 방식으로 해결할 수 있습니다.

• 연립부등식은 각각 풀어 공통된 해를 구한다.
• 절댓값 부등식은 절댓값의 정의를 활용해 범위를 나누어 푼다.
• \( |x| < a \) → 특정 범위 내 값 포함
• \( |x| > a \) → 두 방향으로 값이 퍼짐
• 절댓값 부등식과 연립부등식이 결합된 경우 각 부등식을 풀고 공통된 해를 찾는다.

이 원리를 이해하면 다양한 유형의 부등식 문제를 빠르게 해결할 수 있습니다!