1. 등차수열
▶ 수열 a1,a2,a3,⋯,an,⋯가 모든 자연수 n에 대해서 an+1−an=d(일정) 일 때,
이 수열은 공차가 d인 등차수열이다.
▶ 수열 a,b,c가 등차수열을 이룰 때 b=a+c2를 등차중항이라 한다.
▶ 등차수열의 계산
① 세 수가 등차수열을 이룰 때 : a−d,a,a+d 로 계산
② 네 수가 등차수열을 이룰 때 : a−3d,a−d,a+d,a+3d 로 계산
2. 등차수열의 일반항
▶ 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항 an은 an=a+(n−1)d 이다.
▷ 등차수열의 일반항은 n에 대한 일차식이다.
3. 등차수열의 합
▶ 첫째항이 a, 공차가 d, n번째 항이 l인 등차수열의 첫째항부터 n항까지의 합 Sn은
Sn=n(a+l)2=n{2a+(n−1)d}2 이다.
4. 조화수열
▶ 1a1,1a2,⋯,1an,⋯ 가 등차수열이면, a1,a2,⋯,an,⋯는 조화수열이다. (즉, 역수가 등차수열이다.)
▶ 수열 a,b,c가 등차수열을 이룰 때 b=2aca+c 를 조화중항이라 한다.
5. 일반항과 합의 관계
▶ 수열 {an} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 Sn 이라 할 때
일반항 an은 a1=S1, an=Sn−Sn−1, (단, n≥2 이다.)
6. 등비수열
▶ 수열 a1,a2,⋯,an,⋯가 모든 자연수 n에 대해서 an+1an=r일 때 이 수열은 공비가 r인 등비수열이다.
7. 등차중항, 등비중항, 조화중항
① 세 수 a,x,b 가 이 순서로 등차수열이면, x=a+b2 (산술평균)
② 세 수 a,x,b 가 이 순서로 등비수열이면, x=±√ab (기하평균)
③ 세 수 a,x,b 가 이 순서로 조화수열이면, x=2aba+b (조화평균)
▶ 산술평균, 기하평균, 조화평균의 대소관계
a+b2≥√ab≥2aba+b
8. 수열 사이의 관계
▶ 수열 {an} 에서 연속하는 세 항 사이에
① 2an+1=an+an+2 이면 {an} 은 등차수열
② (an+1)2=anan+2 이면 {an} 은 등비수열
③ 2an+1=1an+1an+2 이면 {an} 은 조화수열
9. 등비수열의 일반항
▶ 첫째항이 a, 공비가 r 인 등비수열의 일반항 {an} 은 an=arn−1 이다.
10. 등비수열의 합
▶ 첫쨰항이 a, 공비가 r 인 등비수열의 n항까지의 합 Sn 은
① r≠1 이면 Sn=a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1
② r=1 이면 Sn=na 이다.
11. 원리합계 (1)
① 원금 a를 연이율 r인 단리법으로 n년간 예금할 때 원리합계 A는 A=a(1+nr) 이다.
② 원금 a를 연이율 r인 복리법으로 n년간 예금할 때 원리합계 B는 B=a(1+r)n 이다.
12. 원리합계 (2)
① 매년초에 a원씩 연이율 r인 복리법에 의해 n년 적금할 때 원리합계 A는
A=a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3+⋯+a(1+r)n 이다.
② 매년말에 a원씩 연이율 r인 복리법에 의해 n년 적금할 때 원리합계 B는
B=a+a(1+r)+a(1+r)2+⋯+a(1+r)n−1 이다.
13. ∑ 의 성질
① ∑nk=1c=cn
② ∑nk=1cak=c∑nk=1ak (단, c는 상수이다.)
③ ∑nk=1(an±bn)=∑nk=1ak±∑nk=1bk
14. 자연수의 거듭제곱의 합
① 1+2+3+⋯+n=∑nk=1k=n(n+1)2
② 12+22+32+⋯+n2=∑nk=1k2=n(n+1)(2n+1)6
③ 13+23+33+⋯+n3=∑nk=1k3={n(n+1)2}2
▷ 분수로 표시된 수열의 합은 1AB=1B−A(1A−1B) 을 이용
15. 등차, 등비가 결합된 수열의 합
▶ 등차수열과 등비수열의 결합으로 이루어진 멱급수 S를 구할 때는 S-(공비)X S를 계산한다.

16. 계차수열
▶ 수열 {an} 의 계차수열을 {bn} 이라 하면 일반항 an=a1+∑n−1k=1bk (단, n≥2 이다.)
17. 군수열
① 각 군의 첫째항이 갖는 규칙성을 확인한다.
② 분수로 표시된 군수열에서는 분모, 분자가 서로 같은 것끼리 묶거나 분모, 분자의 합이 같은 것끼리 묶는다.
▷ 분수로 표시된 수열도 분자, 분모, 분자+분모를 기준으로 해서 같은 성질을 가진것만 묶어 군수열을 만든다.
18. 수학적 귀납법
▶ 자연수 n에 대해 명제 P(n)가 성립함을 보일 때,
① P(1) 가 성립함을 보인다.
② P(k) 가 성립한다 가정할 때, P(k+1)가 성립함을 보인다.
이때 명제 P(n)은 모든 자연수 n에 대해 성립한다.
19. 수열의 귀납적 정의
▶ 수열 {an}에서 n=1,2,3,⋯ 일때
① 등차수열: an+1−an=d(일정) 또는 2an+1=an+an+2
② 등비수열 : an+1an=r(일정) 또는 a2n+1=an⋅an+2
③ 조화수열 : 2an+1=1an+1an+2
20. 점화식으로 표현된 수열의 일반항
an+1=an+f(n) | n 대신에 1,2,⋯,n−1 을 대입해서 변끼리 더한다. an=a1+∑n−1k=1f(k) |
an+1=f(n)an | n 대신에 1,2,⋯,n−1 을 대입해서 변끼리 곱한다. an=a1⋅f(1)⋅f(2)⋅⋯⋅f(n−1) |
an+1=pan+q | an+1−α=p(an−α)로 변형한 후 \{ a_n -\alpha \}$ 가 등비수열임을 이용한다. |
an+1=panqan+r | 양변에 역수를 취하고 bn=1an 으로 두고 계차수열 형태로 계산한다. |
an+1=qapn | 양변에 로그를 취한 후 치환한다. |
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