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수학

수열의 유용한 공식 모음(정리)

by 여행과 수학 2023. 1. 4.
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1. 등차수열

▶ 수열 a1,a2,a3,,an,가 모든 자연수 n에 대해서 an+1an=d(일정) 일 때,

    이 수열은 공차가 d인 등차수열이다.

 

▶ 수열 a,b,c가 등차수열을 이룰 때 b=a+c2를 등차중항이라 한다.

 

▶ 등차수열의 계산

① 세 수가 등차수열을 이룰 때 : ad,a,a+d 로 계산

② 네 수가 등차수열을 이룰 때 : a3d,ad,a+d,a+3d 로 계산

 

2. 등차수열의 일반항

▶ 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항 anan=a+(n1)d 이다.

▷ 등차수열의 일반항은 n에 대한 일차식이다.

 

3. 등차수열의 합

▶ 첫째항이 a, 공차가 d, n번째 항이 l인 등차수열의 첫째항부터 n항까지의 합 Sn

    Sn=n(a+l)2=n{2a+(n1)d}2 이다.

 

4. 조화수열

1a1,1a2,,1an, 가 등차수열이면, a1,a2,,an,는 조화수열이다. (즉, 역수가 등차수열이다.)

 

▶ 수열 a,b,c가 등차수열을 이룰 때 b=2aca+c 를 조화중항이라 한다.

 

5. 일반항과 합의 관계

▶ 수열 {an} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 Sn 이라 할 때

    일반항 ana1=S1, an=SnSn1, (단, n2 이다.)

 

6. 등비수열

▶ 수열 a1,a2,,an,가 모든 자연수 n에 대해서 an+1an=r일 때 이 수열은 공비가 r인 등비수열이다.

 

7. 등차중항,  등비중항,  조화중항

① 세 수 a,x,b 가 이 순서로 등차수열이면, x=a+b2 (산술평균)

② 세 수 a,x,b 가 이 순서로 등비수열이면, x=±ab (기하평균)

③ 세 수 a,x,b 가 이 순서로 조화수열이면, x=2aba+b (조화평균)

 

▶ 산술평균, 기하평균, 조화평균의 대소관계

a+b2ab2aba+b

 

8. 수열 사이의 관계

▶ 수열 {an} 에서 연속하는 세 항 사이에

2an+1=an+an+2 이면 {an} 은 등차수열

(an+1)2=anan+2 이면 {an} 은 등비수열

2an+1=1an+1an+2 이면 {an} 은 조화수열

 

9. 등비수열의 일반항

▶ 첫째항이 a, 공비가 r 인 등비수열의 일반항 {an}an=arn1 이다.

 

10. 등비수열의 합

▶ 첫쨰항이 a, 공비가 r 인 등비수열의 n항까지의 합 Sn

r1 이면 Sn=a(1rn)1r=a(rn1)r1

r=1 이면 Sn=na 이다.

 

11. 원리합계 (1)

① 원금 a를 연이율 r인 단리법으로 n년간 예금할 때 원리합계 AA=a(1+nr) 이다.

② 원금 a를 연이율 r인 복리법으로 n년간 예금할 때 원리합계 BB=a(1+r)n 이다.

 

12. 원리합계 (2)

① 매년초에 a원씩 연이율 r인 복리법에 의해 n년 적금할 때 원리합계 A

    A=a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3++a(1+r)n 이다.

② 매년말에 a원씩 연이율 r인 복리법에 의해 n년 적금할 때 원리합계 B

    B=a+a(1+r)+a(1+r)2++a(1+r)n1 이다.

 

13. 의 성질

nk=1c=cn

nk=1cak=cnk=1ak (단, c는 상수이다.)

nk=1(an±bn)=nk=1ak±nk=1bk

 

14. 자연수의 거듭제곱의 합

1+2+3++n=nk=1k=n(n+1)2

12+22+32++n2=nk=1k2=n(n+1)(2n+1)6

13+23+33++n3=nk=1k3={n(n+1)2}2

 

▷ 분수로 표시된 수열의 합은 1AB=1BA(1A1B) 을 이용

 

15. 등차, 등비가 결합된 수열의 합

▶ 등차수열과 등비수열의 결합으로 이루어진 멱급수 S를 구할 때는 S-(공비)X S를 계산한다.

등차수열 등비수열 결합
등차, 등비수열의 결합된 수열의 합

16. 계차수열

▶ 수열 {an} 의 계차수열을 {bn} 이라 하면 일반항 an=a1+n1k=1bk (단, n2 이다.)

 

17. 군수열

① 각 군의 첫째항이 갖는 규칙성을 확인한다.

② 분수로 표시된 군수열에서는 분모, 분자가 서로 같은 것끼리 묶거나 분모, 분자의 합이 같은 것끼리 묶는다.

▷ 분수로 표시된 수열도 분자, 분모, 분자+분모를 기준으로 해서 같은 성질을 가진것만 묶어 군수열을 만든다.

 

18. 수학적 귀납법

▶ 자연수 n에 대해 명제 P(n)가 성립함을 보일 때,

P(1) 가 성립함을 보인다.

P(k) 가 성립한다 가정할 때, P(k+1)가 성립함을 보인다.

이때 명제 P(n)은 모든 자연수 n에 대해 성립한다.

 

19. 수열의 귀납적 정의

▶ 수열 {an}에서 n=1,2,3, 일때

① 등차수열: an+1an=d(일정) 또는 2an+1=an+an+2 

② 등비수열 : an+1an=r(일정) 또는 a2n+1=anan+2

③ 조화수열 : 2an+1=1an+1an+2

 

20. 점화식으로 표현된 수열의 일반항

an+1=an+f(n)   n 대신에 1,2,,n1 을 대입해서 변끼리 더한다.
 an=a1+n1k=1f(k)
an+1=f(n)an n 대신에 1,2,,n1 을 대입해서 변끼리 곱한다.
    an=a1f(1)f(2)f(n1)
an+1=pan+q  an+1α=p(anα)로 변형한 후
\{ a_n -\alpha  \}$ 가 등비수열임을 이용한다.
an+1=panqan+r 양변에 역수를 취하고 bn=1an 으로 두고
계차수열 형태로 계산한다.
an+1=qapn 양변에 로그를 취한 후 치환한다.

 

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