가우스의 업적 6가지 알아보기

말을 배우기 전에 계산을 할 수 있을 정도의 신동인 가우스, 가우스의 초등학교 수업시간의 일화는 매우 유명하다.

 

가우스의 수학선생님은 수업시간에 1~100까지의 합을 구하라는 과제를 주었다. 모든 학생들이 차례대로 숫자를 더하고 있을 때, 금방 문제를 풀고 손을 든 가우스는 답을 5050이라고 외쳤다.

 

가우스는 1~100까지의 합을 1+100, 2+99, 3+98, ... 이러한 방법으로 양 끝의 숫자를 더하고 101이 50개가 있으므로 101X50=5050 이라고 답을 쉽게 찾아낸 것으로 유명하다.

 

새로운 방법으로 문제를 푸는 것을 좋아했던 천재 수학자 가우스에 대해 알아보자.

가우스

가우스(Carl Friedrich Gauss)

 

가우스는 독일의 수학자, 물리학자로 정수론, 곡면론, 복소함수론 등의 많은 수학 분야를 연구했다. 그의 어린 시절은 매우 가난했다고 알려져있다. 하지만, 어머니의 헌신적인 노력으로 교육을 받을 수 있었다고 한다. 그는 타고난 수학자였지만, 너무 천재였기 때문에 다른 수학자들의 생각을 무시한 것으로 유명하다.

 

▶ 가우스의 업적

 

1. 최소제곱법(현대 통계학의 기초)

 

1801년 천문학자 피아치는 소행성 세레스를 발견하고, 궤도에 대한 연구를 하고 있었다. 그러던 중 어느 날, 세레스가 사라졌고 여러 학자들은 피아치가 그동안 기록했던 41일의 자료를 바탕으로 세레스의 위치를 찾으려고 노력했다. 세레스의 위치 추적의 가장 큰 문제점은 선행연구의 부족이었다고 한다. 당시 수학자들은 세레스 퀘도가 이심률 0과 1 사이의 타원이라고 생각했다.

하지만, 가우스는 세레스가 원뿔 곡선 궤도의 주변에 분포한다고 생각했다. 가우스는 선행연구의 부족으로 인해 연구결과의 오차를 줄여야만 했다. 이 오차를 줄이기 위한 방법으로 가우스가 고안한 것이 최소제곱법이다.

최소제곱법

이 때, 참값에는 궤도와 일치하는 방정식이 이용된다.

 

결국 최소제곱법으로 세레스가 나타날 위치를 정확하게 예측한 가우스는 1807년 괴팅겐대학 교수 겸 천문대장으로 임명되었다. 오차를 최소로 하는 최소제곱법은 현대 통계학의 기초가 되었다.

 

2. 산술의 기본정리 증명

 

산술의 기본정리(fundamental theorem of arithmetic)란 1보다 큰 임의의 자연수 n에 대하여 유한개의 소수 p_1, p_2, ,,, , p_r 이 존재하여 n=p_1*p_2*p_3*,,,*p_r 가 성립하면, 순서를 바꾸는 것을 제외하면, n을 소수의 곱으로 표현하는 방법은 유일하다는 것이다. 간단히 말하면, 하나의 수에

산술의 기본정리

산술의 기본정리 증명

는 하나의 소인수분해만 존재한다는 것이다.

 

3. 이차상호법칙 증명

 

정수론의 여왕이라 불리는 이차상호법칙(law of quadratic reciprocity)는 서로 다른 홀수인 두 소수에 대해 이차잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리이다.

이차상호법칙

 

4. 정십칠각형 작도

 

정십칠각형의 작도는 고대 그리스부터 2000년 이상 해결하지 못한 문제였는데, 세계 최초로 가우스가 19살에 자와 컴퍼스만을 이용하여 복잡한 작도에 성공하였다.

정십칠각형 작도

 

정십칠각형은 변과 각이 모두 17개인 도형으로 모든 내각의 합은 2700도, 한 내각은 약 158.82도, 넓이는 (17/4)*t^2cos(pi/17) 이다.

 

5. 대수학의 기본정리 증명

 

대수학의 기본정리란? 다항식에는 반드시 근이 있다는 정리로 복소수를 계수로 가지는 1차이상의 다항식은 반드시 복소수 근을 갖는다는 것이다. 근이 무엇인지(근의 공식)는 모르지만, 근의 존재성을 증명한 것이다. 증명의 아이디어는 어떤 복소 계수 다항식을 극형식을 이용해 적당히 그래프를 그린 후 r값의 사이에 근이 존재하는 것을 기본으로 증명한다.

 

6. 가우스 기호(Gauss' notation)

가우스 기호의 정의

가우스 기호의 정의는 실수 x를 넘지 않는 최대의 정수이다.

 

이외에도 가우스 소거법, 가우스 분포, 가우스 정리, 가우스 정수, 가우스 적분, 가우스 법칙 등의 가우스의 이름이 붙은 많은 개념이 있다.

 

또한 이러한 업적으로 인해 가우스상이 생겨났는데

 

가우스상은 국제 수학 연맹과 독일 수학 협회가 공동으로 2006년부터 4년마다 '수학 이외의 중요한 응용 분야를 발견한 뛰어난 수학적 기여'로 수여하는 수학상이다.