제1코사인 법칙 알아보기

삼각형에 관한 법칙 중 제1, 2 코사인 법칙과 그 증명방법을 알아보자.

 

제1코사인법칙

제1코사인 법칙

$a=b \cos C + c \cos B$, $b=c \cos A + a \cos C$, $c=a\cos B + b \cos A$

 

증명하기

1. 직각삼각형일 때, 

$a=b \cos C + c \cos B$에서 $\cos B = \cos 90^{\circ} = 0$ 이므로

삼각비에 의해 $a = b \cos C$ 가 성립한다.

 

$b=c \cos A + a \cos C$는 점 $\rm B$에서 선분 $\rm AC$에 내린

수선의 발을 $\rm H$라 할 때, 삼각비에 의해 성립한다.

 

$c=a \cos B + b \cos A$에서 $\cos B = \cos 90^{\circ} = 0$ 이므로

삼각비에 의해 $c = b \cos A$ 가 성립한다.

 

2. 예각삼각형일 때,

예각삼각형

꼭짓점 $\rm A$에서 선분 $\rm BC$에 내린 수선의 발을 $\rm H$라 할 때, 삼각비에 의해 $a=c \cos B + b \cos C$이다.

예각삼각형이므로 모든 꼭짓점에서 대변에 수선의 발을 내릴 수 있고, 제1코사인법칙을 만족한다.

 

3. 둔각삼각형일 때,

둔각삼각형

둔각삼각형은 위의 그림에서 꼭짓점 $\rm C$에서는 선분 $\rm AB$에 수선의 발을 내릴 수 있다.

이때 삼각비에 의해 $c = a \cos B + b \cos A$ 를 만족한다.

 

꼭짓점 $\rm A$는 대변에 수선의 발을 내릴 수 없으므로 선분의 연장선에 내린 수선의 발 $\rm H$라 하자.

$a= \overline{\rm BC} = \overline{\rm BH}- \overline{\rm CH} = b \cos C - c \cos (\pi - B)$

$= b \cos C + c \cos B$ 이다.

 

같은 방법으로 꼭짓점 $\rm B$에서도 선분 $\rm AC$의 연장선에 수선의 발을 내려서

$b = a \cos C + c \cos A$를 만족한다.

 

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