사인법칙 알아보기(sin 법칙)

사인법칙은 삼각형에서 마주보는 변과 각, 그리고 외접원의 반지름 사이의 관계를 나타낸다.

 

사인법칙(sin 법칙)

사인법칙

삼각형에서 마주보는 변과 각이 주어졌을 때, 다음 등식이 성립한다.

 

$\frac{a}{\sin \rm A} = \frac{b}{\sin \rm B} = \frac{c}{\sin \rm C} = 2R$

(예각, 직각, 둔각일 때 증명)

 

증명하기

(i) 직각삼각형일 때

직각삼각형일때

$\angle \rm A = 90^{\circ}$이므로 $\sin \rm A =1 $이다.

따라서 $a = 2R = \frac{a}{\sin \rm A}$ 가 성립한다.

 

(ii) 예각삼각형일 때

예각삼각형일때

점 $\rm C$와 원의 중심을 연결하는 직선을 그을 때, 원과 만나는 $\rm C$가 아닌 점을 $\rm A'$라 하자. 이때 원주각의 성질에 의해 $\angle \rm BAC = \angle \rm BA'C$ 이다. 따라서 $\angle CBA' = 90^{\circ} $ 이고, 직각삼각형 $\rm BCA'$에서 

$\sin \rm A = \sin \rm A' = \it \frac{a}{2R} $ 이다.

즉, $\frac{a}{\sin \rm A} = 2R$이 성립한다.

 

(iii) 둔각삼각형일 때

둔각삼각형일때

점 $\rm C$를 지나고 원의 중심을 지나는 직선을 그을 때, 원과 만나는 점을 $\rm A'$라 하자.

내접하는 사각형의 성질에 의해 $\angle \rm BCA' = \pi - A$ 이다.

따라서 $\angle \rm A'BC = 90^{\circ}$ 이고, 직각삼각형 $\rm BCA'$에서 

$\sin \rm (\pi - a) = \it \frac{a}{2R}$이므로 $a = 2R \sin \rm A$이다.

즉, $\frac{a}{\sin \rm A} = 2R$이 성립한다.

 

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