제2코사인법칙 알아보기

삼각형에서 두변과 그 끼인각이 주어진 경우 활용가능한 제2코사인법칙을 알아보자.

 

제2코사인법칙

제2코사인법칙

 

$a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A$

$b^2 = c^2 + a^2 -2ca \cos B$

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos C$

 

증명하기

제2코사인법칙

제1코사인법칙에 의해

$a = b \cos C + c \cos B$,  $b = c \cos A + a \cos C$,  $c = a \cos B + b \cos A$

위 식에서 각각 양변에 $a, b, c$를 곱하면,

$a^2 = ab \cos C + ac \cos B$,  $b^2 = bc \cos A + ab \cos C$,  $c^2 = ac \cos B + bc \cos A$ 이다.

 

$a^2$식에서 $b^2$, $c^2$ 식을 모두 빼면,

$a^2 - b^2 - c^2 = -2bc \cos A$ 이다.

 

즉, $a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A$ 가 성립한다.