몫(quotient)의 미분법 공식 증명하기

몫의 미분법은 분수로 이루어진 함수의 미분을 할 때 사용하는 미분법이다. 분수형태의 함수의 도함수를 구할 수 있는 몫의 미분법을 알아보자.

 

몫의 미분법이란?

$F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (단, $g(x) \neq 0 $ ) 이면 $F'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{ g(x) \}^2}$ 이다.

 

몫의 미분법을 미적분학 공부를 하는 학생들은 꼭 익혀야만 하는 공식 중 하나이다. 유리함수 형태의 미분가능한 함수의 도함수를 구하는 공식이므로 유용하게 사용가능하며, 분자에서 어떤 식을 먼저 미분해야 하는지 헷갈리는 경우가 많기 떄문에 분모를 제곱하고 분자를 먼저 미분한다고 생각하면 외우기 쉬울 것이다.

 

몫의 미분법의 증명방법

$F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h} $

 

$=\lim_{h \to 0} \{ \frac{1}{h} \times \frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)}{g(x+h)g(x)} \}$

 

$= \lim_{h \to 0} \{ \frac{1}{h} \times \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x) - g(x+h)f(x) + f(x)g(x) }{g(x+h)g(x)} \} $

 

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \times g(x) - f(x) \times \frac{g(x+h)-g(x) }{h} }{g(x+h)g(x)}$

 

$= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 }$