곱의 미분 증명하는 방법

곱미분, 두 함수의 곱 미분

곱의 미분법은 두 미분가능 함수 $f(x)$, $g(x)$에서 $y=f(x)g(x)$이면, $y' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$이다.

 

이러한 곱의 미분법 공식을 간단하게 증명해보자.

 

증명방법

두개의 함수 곱의 미분

$y'=\{ f(x)g(x) \}' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

$=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(X)g(x)}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \{ g(x+h)-g(x)  \} + g(x) \{ f(x+h)-f(x)  \}  }{h}$

$\lim_{h \to 0} \{ f(x+h) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} +g(x) \times \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \}$

$=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$

 

세개의 함수 곱의 미분 증명

$y=f(x)g(x)h(x)$ 의 미분

$y' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) $

 

$y' = \{ f(x)g(x)h(x) \}'$

$= \{ f(x)g(x) \}' h(x) + f(x)g(x)h'(x)$

$= \{ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \} h(X) + f(x)g(x)h'(x)$

$= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) $

 

$y=f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$

 

네개의 함수 곱의 미분 증명

$y=f(x)g(x)h(x)i(x)$

 

$y' = \{ f(x)g(x)h(x)i(x) \}'$

$= \{f(x)g(x)h(x)\}'i(x) + f(x)g(x)h(x)i'(x)$

$= \{f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) \}i(x) + f(x)g(x)h(x)i'(x) $

$= f'(x)g(x)h(x)i(x)+f(x)g'(x)h(x)i(x) + f(x)g(x)h'(x)i(x)+f(x)g(x)h(x)i'(x)$

 

$y' = f'(x)g(x)h(x)i(x) + f(x)g'(x)h(x)i(x) + f(x)g(x)h'(x)i(x) + f(x)g(x)h(x)i'(x)$