탄젠트(tangent, tan) 함수는 삼각함수 중 하나로, 직각삼각형에서 변의 비율을 나타내거나 주기적인 파동을 분석하는 데 사용됩니다. 탄젠트 함수는 물리학, 공학, 신호 처리, 미적분학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서는 탄젠트 함수의 정의, 주요 공식, 미분과 적분, 덧셈정리 등을 정리하여 소개하겠습니다.

탄젠트 함수의 정의
1. 직각삼각형에서의 정의
탄젠트 함수는 직각삼각형에서 다음과 같이 정의됩니다.
tanθ=sinθcosθ=대변(높이)밑변(밑변)
- θ : 삼각형의 한 예각
- 대변: θ에 대한 직각삼각형의 높이(opposite side)
- 밑변: θ에 대한 밑변(adjacent side)
2. 단위원에서의 정의
삼각함수는 단위원(unit circle)에서도 정의됩니다. 단위원에서 각 θ에 대해,
tanθ=yx
- (x,y)는 반지름이 1인 단위원 위의 점의 좌표
- x좌표는 cosθ, y좌표는 sinθ
- tanθ는 x-축과의 기울기로 해석 가능
탄젠트 함수의 주요 성질
1. 탄젠트의 주기성과 대칭성
- 주기(period): tanθ는 π마다 반복됨
- tan(θ+π)=tanθ
- 홀수 함수: tan(−θ)=−tanθ (원점을 기준으로 대칭)
- 수직 점근선: θ=π2+kπ (즉, cosθ=0인 곳에서 정의되지 않음)
2. 특수각의 탄젠트 값
θ (도) | θ (라디안) | tanθ |
---|---|---|
0° | 0 | 0 |
30° | π6 | 1√3 |
45° | π4 | 1 |
60° | π3 | √3 |
90° | π2 | 정의되지 않음 |
탄젠트 함수의 공식
1. 탄젠트의 덧셈정리
tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB
tan(A−B)=tanA−tanB1+tanAtanB
2. 탄젠트의 배각 공식
tan2A=2tanA1−tan2A
3. 탄젠트의 반각 공식
tanA2=sinA1+cosA=1−cosAsinA
4. 곱을 합으로 변환
tanAtanB=sin(A+B)−sin(A−B)cos(A+B)+cos(A−B)
탄젠트 함수의 미분과 적분
1. 탄젠트 함수의 미분
- ddxtanx=sec2x
- ddxtan(ax)=asec2(ax)
2. 탄젠트 함수의 적분
- ∫tanxdx=ln|secx|+C
- ∫tan(ax)dx=1aln|sec(ax)|+C
탄젠트 함수의 극한
lim
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탄젠트 함수의 활용
1. 물리학에서의 활용
- 경사면 문제에서 힘의 성분 분해
- 광학에서 빛의 반사 및 굴절 법칙 분석
2. 전자기학에서의 활용
- 위상 변화 분석
- 안테나 및 전파 분석
3. 신호 처리 및 엔지니어링
- 신호의 위상 분석
- 진동 및 파동 해석
결론
탄젠트 함수는 삼각함수 중 하나로, 직각삼각형과 단위원에서 정의되며, 물리학, 공학, 신호 처리 등 다양한 분야에서 필수적인 개념입니다. 덧셈정리, 배각 공식, 미분과 적분 등의 공식을 활용하면 탄젠트 함수를 보다 효과적으로 사용할 수 있습니다. 이번 글에서 정리한 공식을 익히면 탄젠트 함수를 실생활과 수학적 문제 해결에 활용하는 데 큰 도움이 될 것입니다.
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