삼각형은 기하학에서 가장 기본적인 도형 중 하나로, 다양한 성질과 공식을 가지고 있습니다. 삼각형의 넓이, 변의 길이, 각의 관계, 삼각비 등을 활용하면 수학적 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다. 이번 글에서는 삼각형과 관련된 주요 공식들을 정리하여 소개하겠습니다.

1. 삼각형의 기본 성질
1.1. 삼각형 내각의 합
삼각형의 세 내각의 합은 항상 180도입니다.
∠A+∠B+∠C=180∘
1.2. 삼각형의 외각의 성질
삼각형의 한 외각은 나머지 두 내각의 합과 같습니다.
∠D=∠A+∠B
2. 삼각형의 넓이 공식
2.1. 기본 넓이 공식
삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 이용하여 구할 수 있습니다.
A=12×밑변×높이
2.2. 사인 법칙을 이용한 넓이 공식
두 변과 포함된 각을 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
A=12absinC
2.3. 헤론의 공식
세 변의 길이가 주어진 삼각형의 넓이는 헤론의 공식으로 구할 수 있습니다.
A=√s(s−a)(s−b)(s−c)
여기서 s는 반둘레(semiperimeter)로 다음과 같이 정의됩니다.
s=a+b+c2
3. 삼각형의 변과 각의 관계
3.1. 사인 법칙
사인 법칙은 삼각형의 두 변과 대응하는 각을 이용하여 다음과 같이 표현됩니다.
asinA=bsinB=csinC=2R
- a,b,c : 삼각형의 변
- A,B,C : 변에 대응하는 내각
- R : 삼각형의 외접원의 반지름
3.2. 코사인 법칙
코사인 법칙은 삼각형의 세 변과 한 내각을 이용하여 다음과 같이 표현됩니다.
c2=a2+b2−2abcosC
이 공식은 삼각형이 직각삼각형일 때 피타고라스 정리로 변형됩니다.
3.3. 피타고라스 정리 (직각삼각형에서)
직각삼각형에서 빗변과 다른 두 변 사이의 관계는 다음과 같습니다.
c2=a2+b2
- c : 빗변 (직각과 마주 보는 변)
- a,b : 나머지 두 변
4. 삼각형의 중심과 관련 공식
4.1. 삼각형의 무게중심
삼각형의 무게중심은 세 중선이 만나는 점으로, 다음과 같이 구할 수 있습니다.
G=(x1+x2+x33,y1+y2+y33)
- (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) : 세 꼭짓점의 좌표
4.2. 삼각형의 외심
삼각형의 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점으로, 외접원의 중심이 됩니다.
4.3. 삼각형의 내심
삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점으로, 내접원의 중심이 됩니다.
5. 삼각형과 원
5.1. 삼각형의 외접원 반지름
삼각형의 외접원의 반지름 R은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
R=abc4A
5.2. 삼각형의 내접원 반지름
삼각형의 내접원의 반지름 r은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
r=As
결론
삼각형은 다양한 성질과 공식을 가지고 있으며, 이를 활용하면 수학적 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다. 삼각형의 넓이, 변과 각의 관계, 삼각비, 중심의 위치 등을 익혀두면 기하학뿐만 아니라 물리학, 공학 등에서도 유용하게 사용할 수 있습니다. 이번 글에서 정리한 공식을 숙지하여 실전 문제 해결에 활용해 보세요!
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