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수학

삼각형과 관련된 주요 공식 모음

by 여행과 수학 2025. 2. 11.
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삼각형은 기하학에서 가장 기본적인 도형 중 하나로, 다양한 성질과 공식을 가지고 있습니다. 삼각형의 넓이, 변의 길이, 각의 관계, 삼각비 등을 활용하면 수학적 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다. 이번 글에서는 삼각형과 관련된 주요 공식들을 정리하여 소개하겠습니다.

삼각형 공식

1. 삼각형의 기본 성질

1.1. 삼각형 내각의 합

삼각형의 세 내각의 합은 항상 180도입니다.

A+B+C=180

1.2. 삼각형의 외각의 성질

삼각형의 한 외각은 나머지 두 내각의 합과 같습니다.

D=A+B

2. 삼각형의 넓이 공식

2.1. 기본 넓이 공식

삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 이용하여 구할 수 있습니다.

A=12×밑변×높이

2.2. 사인 법칙을 이용한 넓이 공식

두 변과 포함된 각을 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

A=12absinC

2.3. 헤론의 공식

세 변의 길이가 주어진 삼각형의 넓이는 헤론의 공식으로 구할 수 있습니다.

A=s(sa)(sb)(sc)

여기서 s는 반둘레(semiperimeter)로 다음과 같이 정의됩니다.

s=a+b+c2

3. 삼각형의 변과 각의 관계

3.1. 사인 법칙

사인 법칙은 삼각형의 두 변과 대응하는 각을 이용하여 다음과 같이 표현됩니다.

asinA=bsinB=csinC=2R

  • a,b,c : 삼각형의 변
  • A,B,C : 변에 대응하는 내각
  • R : 삼각형의 외접원의 반지름

3.2. 코사인 법칙

코사인 법칙은 삼각형의 세 변과 한 내각을 이용하여 다음과 같이 표현됩니다.

c2=a2+b22abcosC

이 공식은 삼각형이 직각삼각형일 때 피타고라스 정리로 변형됩니다.

3.3. 피타고라스 정리 (직각삼각형에서)

직각삼각형에서 빗변과 다른 두 변 사이의 관계는 다음과 같습니다.

c2=a2+b2

  • c : 빗변 (직각과 마주 보는 변)
  • a,b : 나머지 두 변

4. 삼각형의 중심과 관련 공식

4.1. 삼각형의 무게중심

삼각형의 무게중심은 세 중선이 만나는 점으로, 다음과 같이 구할 수 있습니다.

G=(x1+x2+x33,y1+y2+y33)

  • (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) : 세 꼭짓점의 좌표

4.2. 삼각형의 외심

삼각형의 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점으로, 외접원의 중심이 됩니다.

4.3. 삼각형의 내심

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점으로, 내접원의 중심이 됩니다.

5. 삼각형과 원

5.1. 삼각형의 외접원 반지름

삼각형의 외접원의 반지름 R은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

R=abc4A

5.2. 삼각형의 내접원 반지름

삼각형의 내접원의 반지름 r은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

r=As

결론

삼각형은 다양한 성질과 공식을 가지고 있으며, 이를 활용하면 수학적 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다. 삼각형의 넓이, 변과 각의 관계, 삼각비, 중심의 위치 등을 익혀두면 기하학뿐만 아니라 물리학, 공학 등에서도 유용하게 사용할 수 있습니다. 이번 글에서 정리한 공식을 숙지하여 실전 문제 해결에 활용해 보세요!

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