이항분포의 뜻과 평균, 표준편차 구하는 방법

이항분포의 뜻

한번 일어나는 시행에서 사건 A가 일어날 확률을 p, 일어나지 않을 확률을 q=1-p 라 하자. 이때, n번의 독립시행에서 사건이 일어날 횟수를 X(확률변수)라 하면, X는 0,1,2,3,4,...,n 이고, X의 확률질량함수는

$P(X=x) = _nC _x p^x q^{n-x}, (x=0,1,2,3, \cdots, n)$ 을 의미한다. 이를 확률변수 X의 확률분포를 표로 표현하면,

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	$n$	합계
$P(X=x)$	$_n C _0 q^n$	$_n C _1 p^1q^{n-1}$	$_n C _2 p^2q^{n-2}$	$_n C _3 p^3q^{n-3}$	$\cdots$	$_n C _n p^n$	$1$

이렇게 이산확률변수 X의 확률분포를 이항분포라 한다.

이항분포는 기호로 B(n,p)로 나타내고, 이 때, n은 시행 횟수, p는 사건 A가 1회의 시행에서 일어날 확률이다.

 

이항분포의 평균

이항분포의 평균을 구하려면, 확률분포에서 구할 수 있다.

$E(X)=0* _nC_0 q^n + 1*_nC_1p^1 q^{n-1}+ 2*_n C_2 p^2 q^{n-2} + \cdots + n*_nC_np^n$

$=np(p+q)^n=np$

따라서 이항분포의 평균은 np이다.

$E(x)=np$

 

이항분포의 분산

이항분포의 분산을 구하려면, 확률분포에서 구할 수 있다.

$V(X)=E(X^2)-\{ E(X)  \}^2$

$=(0^2 * _nC_0 q^n + 1^2 * _nC_1 p^1 q^{n-1} + 2^2 * _nC_2 p^2 q^{n-2} + \cdots +n^2 * _n C_n p^n) -(np)^2$

$=npq$

 

미분을 이용한 평균, 분산 구하기

$(q+pt)^n = \sum _n C_x q^{n-x}(pt)^x$ 에서 양변을 t에 대해 미분하면,

$n(q+pt)^{n-1}p=\sum x_n C_x q^{n-x}p^xt^{x-1}$ 이다.

양변에 t=1을 대입하자. 이때, p+q=1 이므로

$E(X)=\sum x_n C_x q^{n-x}p^x =np$ 이다. 즉, $E(X)=np$

 

 다시 t에 대해 미분하면,

$n(n-1)(q+pt)^{n-2}p^2=\sum x(x-1)_n C_x q^{n-x}p^xt^{x-2}$이고 양변에 t=1을 대입하면,

$n(n-1)p^2 = E(X(X-1))$ 이다.

$V(X)=E(X^2)-\{ E(X)  \}^2 = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 =np-np^2 = np(1-p)=npq$ 이다.

즉, $V(X)=npq$