부등식의 성질 | 대소 관계 | 제곱 절대값

부등식은 두 수 또는 식의 크기를 비교하는 수학적 표현으로, 부등호(<, >, ≤, ≥)를 사용하여 나타냅니다. 부등식은 일상적인 수학 문제뿐만 아니라 다양한 실생활 문제에서도 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서는 부등식의 주요 성질과 이를 활용하는 방법을 살펴보겠습니다.

1. 부등식의 기본 성질

부등식의 성질은 부등호가 수의 크기를 비교하는 관계를 유지하면서 연산을 할 수 있도록 도와줍니다. 기본적인 부등식의 성질은 다음과 같습니다:

1.1 대소 관계

부등식에서 두 수 \( a \)와 \( b \)에 대해 \( a < b \)이면, \( a \)는 \( b \)보다 작은 수를 의미하며, \( a > b \)이면 \( a \)는 \( b \)보다 큰 수를 의미합니다. 예를 들어:

• \( 3 < 5 \) : 3은 5보다 작다.
• \( 7 > 4 \) : 7은 4보다 크다.

1.2 양변에 같은 수를 더하거나 빼기

부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등식의 방향은 변하지 않습니다. 즉, 두 수의 대소 관계가 유지됩니다. 이는 부등식에서 더하거나 빼는 연산이 양쪽에 동일하게 적용되기 때문입니다.

예를 들어, \( a < b \)일 때:

• \( a + c < b + c \)
• \( a - c < b - c \)

예시:

• \( 5 < 8 \)에 3을 더하면: \( 5 + 3 < 8 + 3 \), 즉 \( 8 < 11 \)이 성립합니다.
• \( 7 > 4 \)에서 2를 빼면: \( 7 - 2 > 4 - 2 \), 즉 \( 5 > 2 \)가 성립합니다.

1.3 양변에 같은 수를 곱하거나 나누기

부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누면 부등식의 방향은 변하지 않습니다. 그러나 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등식의 방향이 반대로 바뀝니다.

즉, \( a < b \)일 때 양수 \( c \)에 대해:

• \( a \times c < b \times c \)
• \( \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \)

그러나 음수 \( c \)에 대해:

• \( a \times c > b \times c \)
• \( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \)

예시:

• \( 3 < 5 \)에서 양수 2를 곱하면: \( 3 \times 2 < 5 \times 2 \), 즉 \( 6 < 10 \)이 성립합니다.
• \( 3 < 5 \)에서 음수 -2를 곱하면: \( 3 \times (-2) > 5 \times (-2) \), 즉 \( -6 > -10 \)로 부등호가 반대로 바뀝니다.

2. 부등식의 추가 성질

2.1 부등식의 양변 제곱

양수일 때, 부등식의 양변을 제곱하면 부등식의 방향은 변하지 않습니다. 그러나 음수일 경우 부등식의 방향이 변할 수 있으므로 주의해야 합니다.

• 만약 \( 0 \leq a < b \)라면, \( a^2 < b^2 \)가 성립합니다.
• 음수의 경우는 각 수의 절대값을 고려해야 하므로 성립하지 않을 수 있습니다.

예시:

• \( 2 < 3 \)이므로, \( 2^2 < 3^2 \)이 성립하며 \( 4 < 9 \)입니다.
• 그러나 \( -3 < -2 \)에서 양변을 제곱하면 \( 9 > 4 \)가 되므로 부등식의 방향이 반대가 됩니다.

2.2 두 부등식의 합

같은 방향의 부등식 두 개를 더하면 새로운 부등식이 성립합니다. 즉, \( a < b \)이고 \( c < d \)라면 \( a + c < b + d \)가 성립합니다.

예시:

• \( 3 < 5 \)이고 \( 2 < 4 \)라면, 이를 더하면 \( 3 + 2 < 5 + 4 \), 즉 \( 5 < 9 \)가 성립합니다.

2.3 절대값을 포함한 부등식

절대값을 포함한 부등식은 절대값의 정의에 따라 두 가지 경우로 나누어 해결할 수 있습니다. 예를 들어, \( |x| < a \)는 \( -a < x < a \)로 변환됩니다.

예시:

• \( |x| < 3 \)이면 \( -3 < x < 3 \)입니다.
• \( |x| \geq 2 \)이면 \( x \leq -2 \) 또는 \( x \geq 2 \)가 됩니다.

결론

부등식의 성질은 수학에서 중요한 도구로, 두 수나 식의 크기를 비교할 때 유용하게 사용됩니다. 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 곱하는 연산을 할 때 부등식의 성질을 유지할 수 있으며, 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 바뀌는 것에 주의해야 합니다. 부등식의 이러한 성질들을 잘 이해하고 활용하면, 다양한 수학적 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 것입니다.