유리수를 소수로 표현하는 방법 | 구분 소인수

유리수는 두 정수 \(a\)와 \(b\) (\(b \neq 0\))로 나타낼 수 있는 수로, 분수 형태인 \( \frac{a}{b} \)로 표현됩니다. 이러한 유리수는 소수로 나타낼 때, 유한소수 또는 순환소수로 나타날 수 있습니다. 이번 글에서는 유리수를 소수로 표현하는 방법과 그 과정에서 유리수가 유한소수인지, 또는 순환소수인지 판단하는 방법을 알아보겠습니다.

1. 유리수를 소수로 표현하는 방법

유리수를 소수로 변환하는 가장 기본적인 방법은 분수를 나눗셈으로 계산하는 것입니다. 즉, \( \frac{a}{b} \)에서 \(a\)를 \(b\)로 나누는 과정을 통해 소수로 변환할 수 있습니다. 예를 들어, \( \frac{1}{4} \)는 나누기를 통해 0.25라는 유한소수로 표현할 수 있습니다.

또한, \( \frac{1}{3} \)과 같은 유리수는 0.333...과 같은 순환소수로 변환됩니다. 이는 분모가 분자의 배수가 되지 않을 때 나타나는 결과로, 소수점 아래에서 숫자가 일정하게 반복됩니다.

2. 유한소수와 순환소수의 구분

유리수가 유한소수인지, 순환소수인지를 구분하는 방법은 분수의 분모가 소인수분해 되었을 때의 소인수에 따라 결정됩니다.

2.1 유한소수로 나타나는 경우

분모가 2와 5만을 소인수로 가질 때, 해당 유리수는 유한소수로 나타납니다. 예를 들어, 분수 \( \frac{3}{8} \)을 소수로 나타내면 0.375와 같은 유한소수가 됩니다. 이는 분모 8이 \( 2^3 \)로 소인수분해될 수 있기 때문입니다.

• \( \frac{1}{2} = 0.5 \)
• \( \frac{3}{5} = 0.6 \)
• \( \frac{7}{8} = 0.875 \)

위의 예시처럼 분모가 2와 5로만 이루어진 경우, 나눗셈을 통해 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

2.2 순환소수로 나타나는 경우

분모가 2와 5 이외의 소인수를 포함할 때, 해당 유리수는 순환소수로 나타납니다. 예를 들어, \( \frac{1}{3} \)의 경우 분모 3이 2나 5 이외의 소인수를 가지므로, 소수로 표현하면 0.333...과 같은 순환소수가 됩니다.

• \( \frac{1}{3} = 0.333... \)
• \( \frac{2}{7} = 0.285714285714... \)
• \( \frac{1}{6} = 0.1666... \)

위와 같이, 분모가 2 또는 5 외의 소인수를 가지는 경우 소수점 아래에서 일정한 숫자가 반복되는 순환소수로 나타납니다.

3. 유리수를 소수로 변환하는 예시

3.1 유한소수로 변환

분수 \( \frac{7}{8} \)을 소수로 변환해 봅시다. 여기서 8은 \( 2^3 \)으로 소인수분해되므로, 이 유리수는 유한소수로 표현될 수 있습니다. 나눗셈을 통해 계산하면:

\[ \frac{7}{8} = 0.875 \]

따라서 \( \frac{7}{8} \)은 유한소수 0.875로 나타낼 수 있습니다.

3.2 순환소수로 변환

분수 \( \frac{1}{7} \)을 소수로 변환해 봅시다. 7은 2나 5로 소인수분해될 수 없기 때문에, 이 유리수는 순환소수로 표현됩니다. 나눗셈을 통해 계산하면:

\[ \frac{1}{7} = 0.142857142857... \]

따라서 \( \frac{1}{7} \)은 순환소수 0.142857...로 나타내며, "142857"이 순환마디입니다.

결론

유리수를 소수로 변환하는 방법은 분수를 나눗셈을 통해 소수로 표현하는 것입니다. 이때 분모의 소인수에 따라 유한소수인지 순환소수인지가 결정됩니다. 분모가 2와 5로만 이루어진 경우 유한소수로 나타나며, 그 외의 소인수를 포함하는 경우 순환소수로 나타납니다. 이러한 원리를 이용하면 유리수를 정확하게 소수로 표현할 수 있습니다.

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