복소수의 극형식, 지수 표현 방법

복소수를 좌표평면 위의 점에 대응시켜 나타낼 수 있다. 이 때, 직교형식으로 나타내는 방법이 $z=a+bi \rightarrow A(a,b)$이다.

 

다음으로 복소수를 극형식으로 나타내는 방법을 알아보자.

복소수의 극형식 표현

$z=a+bi$이고, 점을 직교좌표로 나타내면, $A(a,b)$이다. 선분 OA와 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$라 하자.

이때 $a = |z|\cos \theta$, $b = |z|\sin \theta$ 이므로 이를 $z$에 대입하면, $z=|z|(\cos \theta + i \sin \theta)$ 이다. 이것이 복소수의 극형식이다.

 

또한 $\theta$를 $\arg(z) = \arg(a+bi)$라고 나타낼 수 있고, 이를 복소수의 편각이라고 한다.

 

복소수의 극형식

복소수 $z=a+bi$에서 $z$를 극형식으로 나타내면,

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ 이다. (단, $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos \theta = \frac{a}{r}$, $\sin \theta = \frac{b}{r}$ 이다.) 이때, $\tan \theta = \frac{b}{a}$ 이다.

 

복소수의 지수표현방법

$|z|=r$이고 편각이 $\theta$인 복소수는 $re^{i\theta}$로 나타낼 수 있다. 그 이유를 알아보자.

 

테일러 급수에 의해

 

$e^x = 1+\frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^2 + \cdots $

$\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \cdots $

$\cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 +\frac{1}{4!}x^4  - \cdots $

 

로 나타낼 수 있다. $e^x$에서 $x = i \theta$를 대입하면,

 

$e^{i \theta} = 1+\frac{i\theta}{1!} + \frac{i^2\theta^2}{2!} + \frac{i^3\theta^3}{3!} + \frac{i^4\theta^4}{4!}+ \cdots $

$= 1+ \frac{\theta}{1!}i -\frac{\theta^2}{2!} -\frac{\theta^3}{3!}i +\frac{\theta^4}{4!} + \cdots $

$= (1-\frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots) + (\frac{\theta}{1!} - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots )i $

$= \cos \theta + i\sin \theta$

 

즉, $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 이다.