벡터의 노름(Norm)과 벡터 공간에서의 거리

벡터의 노름(norm)과 벡터 공간에서의 거리는 벡터의 크기와 두 벡터 사이의 거리를 측정하는 데 중요한 개념입니다. 이러한 개념은 물리적 공간에서의 거리 측정뿐 아니라, 수학, 물리학, 데이터 분석 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 이 글에서는 벡터의 노름의 정의와 여러 가지 노름의 유형, 그리고 벡터 공간에서 두 벡터 사이의 거리 계산 방법에 대해 설명합니다.

벡터의 노름(Norm)이란?

벡터의 노름(norm)은 벡터의 크기 또는 길이를 나타내는 수치로, 벡터 공간에서 특정 벡터의 크기를 측정할 때 사용됩니다. 노름의 종류에 따라 계산 방식이 달라지며, 이를 통해 벡터의 길이나 크기를 계산할 수 있습니다. 가장 일반적인 노름은 \(L^2\) 노름(유클리드 노름)이며, 다음과 같은 여러 노름이 자주 사용됩니다.

1. \(L^1\) 노름 (맨해튼 노름)

\(L^1\) 노름은 각 성분의 절댓값의 합으로 정의되며, 맨해튼 거리(Manhattan Distance)라고도 불립니다. 벡터 \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) \)의 \(L^1\) 노름은 다음과 같이 계산됩니다:

$$ \| \mathbf{v} \|_1 = |v_1| + |v_2| + \dots + |v_n| $$

이 노름은 벡터의 각 성분의 절댓값을 더해 벡터의 길이를 계산하며, 도시 블록이나 체스판과 같은 격자 구조에서의 거리 측정에 자주 사용됩니다.

2. \(L^2\) 노름 (유클리드 노름)

\(L^2\) 노름은 가장 널리 사용되는 노름으로, 유클리드 거리(Euclidean Distance)를 의미합니다. 벡터 \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) \)의 \(L^2\) 노름은 다음과 같이 정의됩니다:

$$ \| \mathbf{v} \|_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2} $$

이 노름은 피타고라스 정리를 바탕으로 벡터의 길이를 계산하며, 물리적 공간에서 두 점 사이의 거리 측정에 주로 사용됩니다.

3. \(L^\infty\) 노름 (최대 노름)

\(L^\infty\) 노름은 벡터 성분 중 절댓값이 가장 큰 성분을 선택하는 방식으로 계산됩니다. 벡터 \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) \)의 \(L^\infty\) 노름은 다음과 같이 정의됩니다:

$$ \| \mathbf{v} \|_\infty = \max(|v_1|, |v_2|, \dots, |v_n|) $$

이 노름은 벡터의 각 성분 중 가장 큰 값이 벡터의 길이가 되는 방식으로, 특히 특정 성분이 가장 큰 영향을 미치는 경우에 유용하게 사용됩니다.

벡터 공간에서의 거리 계산

벡터 공간에서 두 벡터 사이의 거리는 벡터의 차이를 통해 측정할 수 있으며, 이는 두 벡터 간의 차이를 나타내는 벡터의 노름으로 계산됩니다. 예를 들어, 벡터 \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n) \)과 벡터 \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) \) 사이의 거리는 다음과 같이 정의됩니다:

$$ \text{거리} = \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \| $$

이때, 사용하는 노름에 따라 거리를 계산하는 방식이 달라집니다. 다음은 다양한 노름을 활용한 두 벡터 사이의 거리 계산 예입니다.

1. \(L^1\) 거리 (맨해튼 거리)

\(L^1\) 거리, 즉 맨해튼 거리는 각 성분의 차이의 절댓값을 모두 더한 값입니다. 두 벡터 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \) 사이의 \(L^1\) 거리는 다음과 같이 계산됩니다:

$$ \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|_1 = |u_1 - v_1| + |u_2 - v_2| + \dots + |u_n - v_n| $$

2. \(L^2\) 거리 (유클리드 거리)

\(L^2\) 거리, 즉 유클리드 거리는 두 벡터 사이의 직선 거리를 측정하며, 피타고라스 정리를 사용하여 계산됩니다. 두 벡터 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \) 사이의 \(L^2\) 거리는 다음과 같습니다:

$$ \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|_2 = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \dots + (u_n - v_n)^2} $$

3. \(L^\infty\) 거리 (최대 거리)

\(L^\infty\) 거리, 즉 최대 거리는 두 벡터 성분 차이의 절댓값 중 가장 큰 값을 선택하여 계산합니다. 두 벡터 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \) 사이의 \(L^\infty\) 거리는 다음과 같습니다:

$$ \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|_\infty = \max(|u_1 - v_1|, |u_2 - v_2|, \dots, |u_n - v_n|) $$

결론

벡터의 노름과 벡터 공간에서의 거리는 벡터의 크기와 두 벡터 간의 거리를 측정하는 중요한 수단입니다. \(L^1\) 노름, \(L^2\) 노름, \(L^\infty\) 노름 등 다양한 노름의 개념은 각기 다른 방식으로 벡터의 길이를 계산하며, 이를 통해 벡터 간 거리도 다르게 측정할 수 있습니다. 이러한 개념은 데이터 분석, 최적화, 물리학 등 다양한 분야에서 필수적인 도구로 사용되고 있습니다.

벡터 관련 수학 탐구 주제 100가지 추천