행렬과 관련된 주요 공식 모음

행렬(Matrix)은 수학에서 여러 데이터를 정리하고 연산하는 중요한 도구로, 공학, 컴퓨터 과학, 물리학, 통계학, 인공지능 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 행렬의 기본 연산부터 응용까지 다양한 주요 공식을 정리하여, 행렬 개념을 보다 쉽게 이해하고 실생활 문제 해결에 적용할 수 있도록 도와줍니다.

행렬과 관련된 주요 공식 모음

1. 행렬의 기본 연산

• 행렬의 덧셈과 뺄셈: 두 행렬 \( A = [a_{ij}] \), \( B = [b_{ij}] \)가 같은 크기를 가지면, \[ A + B = [a_{ij} + b_{ij}], \quad A - B = [a_{ij} - b_{ij}] \]
• 스칼라 곱: 행렬 \( A = [a_{ij}] \)와 스칼라 \( c \)에 대해, \[ cA = [c \cdot a_{ij}] \]
• 행렬의 전치(Transpose): 행렬 \( A = [a_{ij}] \)의 전치행렬 \( A^T \)는 행과 열을 바꾼 행렬로 정의됨. \[ A^T = [a_{ji}] \]

2. 행렬의 곱셈

• 두 행렬의 곱셈: 행렬 \( A \)가 \( m \times n \) 크기이고, \( B \)가 \( n \times p \) 크기일 때, 곱셈 \( C = AB \)는 \( m \times p \) 크기의 행렬이 되며, 원소는 다음과 같이 계산됨. \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \]

3. 단위 행렬과 역행렬

• 단위 행렬(Identity Matrix): 크기 \( n \times n \)인 단위 행렬 \( I_n \)은 대각선 원소가 1이고 나머지가 0인 행렬. \[ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 모든 \( n \times n \) 행렬 \( A \)에 대해 \( AI_n = I_nA = A \)가 성립.
• 역행렬(Inverse Matrix): 정사각 행렬 \( A \)가 존재할 때, 역행렬 \( A^{-1} \)는 다음 조건을 만족. \[ AA^{-1} = A^{-1}A = I_n \] 역행렬은 행렬식 \( \det(A) \neq 0 \)인 경우에만 존재.
• 역행렬 계산 공식 (2×2 행렬의 경우): \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \] 단, \( ad - bc \neq 0 \)이어야 함.

4. 행렬식 (Determinant)

• 2×2 행렬의 행렬식: \[ \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]
• 3×3 행렬의 행렬식 (Sarrus 법칙): \[ \det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

5. 크래머 공식 (Cramer's Rule)

선형 방정식 \( AX = B \)에서 \( A \)가 가역 행렬일 때, 해 \( X = A^{-1}B \)는 크래머 공식으로 구할 수 있음.

• 2×2 연립방정식에서 크래머 공식: \[ Ax + By = E \] \[ Cx + Dy = F \] 해는 다음과 같음. \[ x = \frac{\begin{vmatrix} E & B \\ F & D \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} A & E \\ C & F \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix}} \]

6. 고유값과 고유벡터 (Eigenvalues and Eigenvectors)

• 고유값 방정식: 정사각 행렬 \( A \)에 대해, \[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \] 를 만족하는 \( \lambda \)를 고유값(Eigenvalue), \( \mathbf{v} \)를 고유벡터(Eigenvector)라 함.
• 고유값 찾기: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] 을 풀어 고유값 \( \lambda \)를 구함.

7. 특이값 분해 (Singular Value Decomposition, SVD)

• 특이값 분해 공식: \[ A = U \Sigma V^T \] 여기서, \( U \)와 \( V \)는 직교행렬(Orthogonal Matrices), \( \Sigma \)는 대각행렬(Diagonal Matrix).

결론

행렬은 수학적 개념을 넘어 데이터 분석, 기계 학습, 컴퓨터 그래픽스, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 필수적으로 활용됩니다. 위의 주요 공식들을 숙지하면 행렬의 다양한 응용 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 것입니다.