통계와 관련된 주요 공식 모음

통계(statistics)는 데이터를 수집, 분석, 해석 및 표현하는 학문으로, 다양한 분야에서 의사결정의 중요한 역할을 합니다. 통계를 효과적으로 활용하기 위해서는 평균, 중앙값, 표준 편차, 분산, 확률 분포, 신뢰 구간 등과 같은 주요 개념과 공식을 이해하는 것이 필수적입니다. 이번 글에서는 통계에서 자주 사용되는 주요 공식들을 정리하여 소개하겠습니다.

기초 통계 개념과 주요 공식

1. 평균 (Mean)

평균(산술평균, Arithmetic Mean)은 데이터의 중심을 나타내는 값으로, 다음과 같이 계산됩니다.

• 표본 평균 (Sample Mean):

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

• 모평균 (Population Mean):

\[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]

2. 중앙값 (Median)과 최빈값 (Mode)

• 중앙값 (Median, \( M \)): 데이터를 크기 순으로 정렬했을 때 정중앙에 위치한 값
• 최빈값 (Mode): 데이터에서 가장 자주 등장하는 값

3. 분산 (Variance)과 표준 편차 (Standard Deviation)

분산은 데이터 값들이 평균을 기준으로 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 지표입니다.

• 표본 분산 (Sample Variance):

\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

• 모분산 (Population Variance):

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \]

• 표준 편차 (Standard Deviation): 분산의 제곱근

\[ s = \sqrt{s^2}, \quad \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

4. 범위 (Range)와 사분위수 (Quartiles)

• 범위 (Range): 최댓값 - 최솟값
• 사분위수 (Quartiles): 데이터를 4등분한 값
  • 제1사분위수 (\( Q_1 \)) - 하위 25%
  • 제2사분위수 (\( Q_2 \)) - 중앙값 (50%)
  • 제3사분위수 (\( Q_3 \)) - 상위 75%
• 사분위 범위 (IQR, Interquartile Range):

\[ IQR = Q_3 - Q_1 \]

확률 분포와 통계적 분석

1. 확률 밀도 함수 (Probability Density Function, PDF)

확률 분포는 데이터가 특정 값이나 구간에서 발생할 가능성을 나타내는 함수입니다.

• 이산 확률 변수: 확률 질량 함수 (PMF, Probability Mass Function)
• 연속 확률 변수: 확률 밀도 함수 (PDF, Probability Density Function)

2. 정규 분포 (Normal Distribution)

정규 분포(가우시안 분포)는 통계 분석에서 가장 중요한 분포 중 하나로, 평균 \( \mu \)와 표준 편차 \( \sigma \)를 가지는 데이터가 따르는 분포입니다.

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

3. 표준 정규 분포 (Standard Normal Distribution)

표준 정규 분포는 평균이 0이고 표준 편차가 1인 정규 분포입니다. 임의의 정규 분포를 표준 정규 분포로 변환하는 공식은 다음과 같습니다.

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

4. 중심 극한 정리 (Central Limit Theorem, CLT)

중심 극한 정리는 표본 크기 \( n \)이 충분히 크다면, 표본 평균의 분포가 정규 분포에 가까워진다는 중요한 이론입니다.

추론 통계와 신뢰 구간

1. 신뢰 구간 (Confidence Interval, CI)

신뢰 구간은 모평균을 추정할 때 사용되며, 일반적으로 다음과 같이 계산됩니다.

• 모분산이 알려진 경우:

\[ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

• 모분산이 알려지지 않은 경우 (t-분포 사용):

\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

2. 가설 검정 (Hypothesis Testing)

가설 검정은 귀무가설(\( H_0 \))을 설정하고, 표본 데이터를 바탕으로 이를 기각할지 여부를 판단하는 과정입니다.

• p-값 (p-value): 유의 수준 \( \alpha \)보다 작으면 귀무가설을 기각
• t-검정 (t-test): 두 집단의 평균 비교
• 카이제곱 검정 (Chi-square test): 범주형 데이터의 독립성 분석
• ANOVA (분산 분석): 세 개 이상의 그룹 간 평균 비교

결론

통계학에서는 평균, 분산, 표준 편차 등의 기초 개념부터 확률 분포, 신뢰 구간, 가설 검정 등 다양한 개념과 공식이 활용됩니다. 이를 이해하면 데이터 분석 및 의사결정에서 더욱 정확한 판단을 내릴 수 있습니다.

이번 글에서 정리한 공식들을 숙지하면, 실생활과 연구에서 통계를 효과적으로 활용하는 데 큰 도움이 될 것입니다.