컴퓨터 단층 촬영기에 활용되는 방정식

컴퓨터 단층 촬영(CT, Computed Tomography)은 인체 내부의 단면 이미지를 생성하기 위해 X선을 다양한 각도로 투과시키고, 이를 수학적으로 재구성하여 2D 또는 3D 이미지를 만드는 기술입니다. CT 스캔에서 사용되는 수학적 방정식은 투영 데이터를 기반으로 이미지를 복원하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 이 과정에서 주로 사용되는 방정식은 방사선 감쇠 법칙, 라돈 변환(Radon Transform), 역 라돈 변환(Inverse Radon Transform), 그리고 푸리에 변환(Fourier Transform)입니다. 이번 글에서는 CT 스캔에서 사용되는 주요 방정식을 소개하고 그 역할을 설명합니다.

컴퓨터 단층 촬영기

1. 방사선 감쇠 법칙

X선이 물질을 통과할 때 에너지가 감소하는 현상을 설명하는 법칙으로, 다음과 같이 표현됩니다:

\[ I = I_0 e^{-\int \mu(x) dx} \]

• \(I\): 물질을 통과한 후의 X선 강도.
• \(I_0\): 물질에 입사하기 전의 X선 강도.
• \(\mu(x)\): 선형 감쇠 계수 (물질의 특성을 나타냄).
• \(x\): 물질 내의 거리.

CT 스캐너는 다양한 각도에서 \(I\)를 측정하고, 이를 통해 감쇠 계수 \(\mu(x)\)의 분포를 역산합니다.

2. 라돈 변환 (Radon Transform)

라돈 변환은 물체의 밀도 분포를 특정 방향으로 투영(projection)한 결과를 수학적으로 표현합니다. 다음과 같은 식으로 정의됩니다:

\[ R_\theta(p) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \delta(p - x\cos\theta - y\sin\theta) dx dy \]

• \(R_\theta(p)\): 각도 \(\theta\)에서 투영된 값.
• \(f(x, y)\): 2D 이미지의 밀도 분포 함수.
• \(\delta\): 디랙 델타 함수(투영선과 일치하는 점을 선택).
• \(p\): 투영 방향의 거리 좌표.

라돈 변환은 물체의 2D 또는 3D 밀도 분포를 각도별 투영 데이터로 변환하는 역할을 합니다.

3. 역 라돈 변환 (Inverse Radon Transform)

CT 이미지를 복원하기 위해 라돈 변환으로 얻은 투영 데이터를 역으로 계산합니다. 역 라돈 변환의 수식은 다음과 같습니다:

\[ f(x, y) = \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} R_\theta(p) |\hat{p}| e^{i2\pi p(x\cos\theta + y\sin\theta)} dp d\theta \]

• \(f(x, y)\): 복원된 2D 이미지의 밀도 분포.
• \(R_\theta(p)\): 투영 데이터.
• \(p\), \(\theta\): 투영 거리와 각도.
• \(|\hat{p}|\): 필터링 함수(고주파 강조 필터).

이 과정은 푸리에 슬라이스 정리(Fourier Slice Theorem)를 활용하여 수행됩니다.

4. 푸리에 슬라이스 정리

푸리에 슬라이스 정리는 2D 푸리에 변환이 1D 투영 데이터와 관련이 있음을 보여줍니다. 이는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty} R_\theta(p) e^{-i2\pi p(u\cos\theta + v\sin\theta)} dp \]

• \(F(u, v)\): 2D 푸리에 변환.
• \(R_\theta(p)\): 특정 각도 \(\theta\)에서 투영된 값.

이 정리를 사용하면 2D 푸리에 공간에서의 값을 계산하여, 역 푸리에 변환을 통해 원본 이미지를 복원할 수 있습니다.

5. CT 스캐너의 재구성 알고리즘

CT 이미지를 복원하는 실제 과정에서는 다음과 같은 알고리즘이 사용됩니다:

• 필터 역투영(Filtered Back Projection, FBP): 투영 데이터를 필터링한 후 역투영하여 이미지를 복원.
• 알제브라적 재구성 기법(ART, Algebraic Reconstruction Technique): 선형 방정식을 반복적으로 해결하여 이미지를 복원.
• Iterative Reconstruction: 반복 알고리즘을 사용하여 노이즈를 줄이고 해상도를 개선.

결론

컴퓨터 단층 촬영에서 사용되는 방정식은 X선 투영 데이터를 이미지로 재구성하는 데 필수적입니다. 방사선 감쇠 법칙, 라돈 변환, 역 라돈 변환, 그리고 푸리에 변환은 CT 기술의 수학적 기반을 제공합니다. 이와 같은 수학적 도구를 활용하여 의료 이미징 기술은 더욱 정밀하고 효율적으로 발전하고 있습니다.

인공지능 관련 연구 주제 100가지 추천