지수분포와 포아송분포의 관계 알아보기

확률분포 중에서 특히 지수분포와 포아송 분포는 서로 깊은 관계를 가지고 있습니다. 이 두 분포는 모두 특정 사건의 발생 간격이나 발생 횟수를 설명하는 데 사용되며, 특히 포아송 과정에서 서로 연결됩니다. 이 글에서는 지수분포와 포아송 분포의 개념을 살펴보고, 두 분포의 관계를 수학적으로 분석하여 그 의미를 알아보겠습니다.

지수분포란 무엇인가?

지수분포(Exponential Distribution)는 사건이 연속적으로 발생하는 시간 간격을 나타내는 확률분포입니다. 특정 사건이 발생하는데 걸리는 시간이나 두 사건 사이의 대기 시간을 모델링할 때 자주 사용됩니다. 예를 들어, 고객이 은행 창구에 도착하는 간격 시간이나, 서버에 요청이 들어오는 시간 간격을 분석할 때 유용합니다.

지수분포의 확률밀도함수는 다음과 같이 정의됩니다.

$$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \ \ (x \geq 0)$$

여기서 \(\lambda\)는 단위 시간당 평균 발생률을 의미하며, \(x\)는 사건이 발생하는 시간 간격을 나타냅니다.

지수분포의 특징은 '기억 없음' 성질을 갖는다는 점입니다. 이는 특정 시간이 경과하더라도 앞으로 사건이 발생할 때까지의 시간 분포는 여전히 동일하다는 의미입니다.

포아송 분포란 무엇인가?

포아송 분포(Poisson Distribution)는 일정한 시간 또는 공간 안에서 특정 사건이 발생하는 횟수를 나타내는 이산 확률분포입니다. 고객 콜센터에서 1시간 동안 걸려오는 전화 수, 특정 도로에서 1시간 동안 발생하는 교통사고 수 등을 분석할 때 유용합니다.

포아송 분포의 확률질량함수는 다음과 같습니다.

$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \ \ (k=0,1,2,\dots)$$

여기서 \(\lambda\)는 단위 시간당 평균 발생 횟수를 의미하며, \(k\)는 실제 발생한 사건의 개수를 나타냅니다.

지수분포와 포아송 분포의 관계

지수분포와 포아송 분포는 '포아송 과정(Poisson Process)'이라는 공통적인 확률모델에서 출발합니다. 포아송 과정은 단위 시간당 사건이 일정한 평균률로 발생하고, 각 사건 발생 간격이 서로 독립이라는 가정을 따릅니다. 이러한 포아송 과정에서 다음과 같은 중요한 관계가 성립합니다.

포아송 과정의 대기시간 분포는 지수분포

포아송 과정에서 첫 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간은 지수분포를 따릅니다. 즉, 사건이 평균적으로 \(\lambda\)의 속도로 발생하는 경우, 다음 사건까지 걸리는 시간 \(T\)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$T \sim \text{Exponential}(\lambda)$$

지수분포의 누적시간이 포아송 분포를 만든다

반대로, 일정 시간 동안 발생한 사건의 총 개수는 포아송 분포를 따릅니다. 즉, 시간 \(t\) 동안 사건이 발생하는 개수 \(N(t)\)는 다음과 같은 포아송 분포를 따릅니다.

$$N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t)$$

이는 사건이 발생하는 간격이 지수분포를 따르기 때문에, 일정 시간 동안 사건이 몇 번 발생하는지를 이산적으로 세면 포아송 분포로 귀결된다는 의미입니다.

수학적 유도 과정

포아송 과정에서 시간 \(t\) 내 첫 사건이 발생할 확률을 구해보면, 이는 지수분포의 생존함수로 표현됩니다.

$$P(T > t) = e^{-\lambda t}$$

이는 '시간 \(t\) 내에서 한 번도 사건이 발생하지 않을 확률'과 같습니다. 만약 시간 \(t\) 동안 발생하는 사건 수를 \(N(t)\)라고 한다면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t}$$

이를 확장하면, 시간 \(t\) 동안 정확히 \(k\)번 사건이 발생할 확률은 포아송 분포의 식과 동일해집니다.

$$P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}$$

결과적으로, 포아송 과정에서 발생 간격은 지수분포, 누적 횟수는 포아송 분포로 연결되는 것이 수학적으로 증명됩니다.

지수분포와 포아송 분포의 실제 예시

- 콜센터의 전화 수: 고객 콜센터에 걸려오는 전화 수는 포아송 분포를 따르고, 각 전화 사이의 시간 간격은 지수분포를 따릅니다.

- 서버 요청 처리: 서버로 들어오는 요청 수는 포아송 분포이며, 요청 사이의 대기 시간은 지수분포를 따릅니다.

- 지진 발생: 특정 지역에서 발생하는 지진 횟수는 포아송 분포이며, 지진 간격 시간은 지수분포를 따르는 것으로 모델링할 수 있습니다.

결론

지수분포는 사건 발생 간격을 나타내며, 포아송 분포는 일정 시간 동안 사건 발생 횟수를 나타냅니다.

두 분포는 포아송 과정이라는 공통 모델에서 연결되며, 사건 간격이 지수분포이면 해당 기간 동안 사건 수는 포아송 분포를 따릅니다.

수학적으로는 지수분포의 누적시간이 포아송 분포로 귀결되며, 이는 현실 세계의 다양한 대기시간 및 사건 발생 모델링에 활용됩니다.

결과적으로, 지수분포와 포아송 분포는 서로 떼려야 뗄 수 없는 깊은 수학적·통계적 관계를 가지고 있으며, 실제 데이터 분석에서도 빈번히 사용되는 중요한 도구들입니다.