원과 포물선 사이의 면적을 계산하는 문제는 곡선의 교점을 구하고, 적분을 활용하여 두 곡선 사이의 영역을 계산하는 과정으로 해결할 수 있습니다. 이 글에서는 구체적인 예제를 통해 원과 포물선 사이의 면적을 계산하는 방법을 설명하겠습니다
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원과 포물선의 교점 찾기
다음 두 곡선을 고려해 봅시다:
1. 원: x2+y2=r2
2. 포물선: y=x2
이 두 곡선의 교점을 찾기 위해 원의 방정식에 포물선의 식 y=x2를 대입합니다:
x2+(x2)2=r2
x2+x4=r2
x4+x2−r2=0
여기서 u=x2라고 치환하면:
u2+u−r2=0
이제 이 이차 방정식을 풉니다:
u=−1±√1+4r22
단, u=x2≥0이므로:
u=−1+√1+4r22
따라서 교점의 x 좌표는:
x=±√−1+√1+4r22
면적 계산을 위한 적분 설정
이제 x 좌표가 −√−1+√1+4r22에서 √−1+√1+4r22 사이에서 원과 포물선 사이의 면적을 계산합니다. 영역을 나눠 다음과 같은 적분을 설정합니다:
A=2∫√−1+√1+4r220(√r2−x2−x2)dx
여기서:
- √r2−x2는 원의 위쪽 반원 방정식입니다.
- x2는 포물선 방정식입니다.
적분 계산
적분을 계산하기 위해 적분식을 두 부분으로 나눕니다:
A=2(∫√−1+√1+4r220√r2−x2dx−∫√−1+√1+4r220x2dx)
첫 번째 적분: 원의 영역
첫 번째 적분 ∫√−1+√1+4r220√r2−x2dx는 삼각 치환을 이용하여 계산할 수 있습니다:
치환: x=rsinθ,dx=rcosθdθ
적분 한계: x=0→θ=0, x=√−1+√1+4r22→θ=arcsin(√−1+√1+4r22r2)
적분 결과를 계산하면 원의 면적 부분이 구해집니다.
두 번째 적분: 포물선의 영역
두 번째 적분 ∫√−1+√1+4r220x2dx는 다음과 같이 계산됩니다:
∫x2dx=x33
적분 한계를 대입하면 포물선의 면적 부분을 구할 수 있습니다.
결론
위의 과정을 통해 원과 포물선 사이의 면적을 계산할 수 있습니다. 구체적인 수치 계산은 치환 적분이나 수치적 방법을 사용하여 해결합니다. 이 방법은 곡선의 교점을 먼저 찾고, 적분 범위를 설정한 후, 각각의 곡선에 대한 적분을 수행하여 전체 면적을 구하는 데 활용됩니다.
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