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수학

원과 포물선 사이의 면적 계산

by 여행과 수학 2025. 1. 13.
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원과 포물선 사이의 면적을 계산하는 문제는 곡선의 교점을 구하고, 적분을 활용하여 두 곡선 사이의 영역을 계산하는 과정으로 해결할 수 있습니다. 이 글에서는 구체적인 예제를 통해 원과 포물선 사이의 면적을 계산하는 방법을 설명하겠습니다

원 포물선 면적

원과 포물선의 교점 찾기

다음 두 곡선을 고려해 봅시다:

1. 원: x2+y2=r2

2. 포물선: y=x2

이 두 곡선의 교점을 찾기 위해 원의 방정식에 포물선의 식 y=x2를 대입합니다:

x2+(x2)2=r2

x2+x4=r2

x4+x2r2=0

여기서 u=x2라고 치환하면:

u2+ur2=0

이제 이 이차 방정식을 풉니다:

u=1±1+4r22

단, u=x20이므로:

u=1+1+4r22

따라서 교점의 x 좌표는:

x=±1+1+4r22

면적 계산을 위한 적분 설정

이제 x 좌표가 1+1+4r22에서 1+1+4r22 사이에서 원과 포물선 사이의 면적을 계산합니다. 영역을 나눠 다음과 같은 적분을 설정합니다:

A=21+1+4r220(r2x2x2)dx

여기서:

  • r2x2는 원의 위쪽 반원 방정식입니다.
  • x2는 포물선 방정식입니다.

적분 계산

적분을 계산하기 위해 적분식을 두 부분으로 나눕니다:

A=2(1+1+4r220r2x2dx1+1+4r220x2dx)

첫 번째 적분: 원의 영역

첫 번째 적분 1+1+4r220r2x2dx는 삼각 치환을 이용하여 계산할 수 있습니다:

치환: x=rsinθ,dx=rcosθdθ

적분 한계: x=0θ=0, x=1+1+4r22θ=arcsin(1+1+4r22r2)

적분 결과를 계산하면 원의 면적 부분이 구해집니다.

두 번째 적분: 포물선의 영역

두 번째 적분 1+1+4r220x2dx는 다음과 같이 계산됩니다:

x2dx=x33

적분 한계를 대입하면 포물선의 면적 부분을 구할 수 있습니다.

결론

위의 과정을 통해 원과 포물선 사이의 면적을 계산할 수 있습니다. 구체적인 수치 계산은 치환 적분이나 수치적 방법을 사용하여 해결합니다. 이 방법은 곡선의 교점을 먼저 찾고, 적분 범위를 설정한 후, 각각의 곡선에 대한 적분을 수행하여 전체 면적을 구하는 데 활용됩니다.

 

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