원과 포물선 사이의 면적 계산

원과 포물선 사이의 면적을 계산하는 문제는 곡선의 교점을 구하고, 적분을 활용하여 두 곡선 사이의 영역을 계산하는 과정으로 해결할 수 있습니다. 이 글에서는 구체적인 예제를 통해 원과 포물선 사이의 면적을 계산하는 방법을 설명하겠습니다

원과 포물선의 교점 찾기

다음 두 곡선을 고려해 봅시다:

1. 원: $$ x^2 + y^2 = r^2 $$

2. 포물선: $$ y = x^2 $$

이 두 곡선의 교점을 찾기 위해 원의 방정식에 포물선의 식 $y = x^2$를 대입합니다:

$$ x^2 + (x^2)^2 = r^2 $$

$$ x^2 + x^4 = r^2 $$

$$ x^4 + x^2 - r^2 = 0 $$

여기서 $u = x^2$라고 치환하면:

$$ u^2 + u - r^2 = 0 $$

이제 이 이차 방정식을 풉니다:

$$ u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4r^2}}{2} $$

단, $u = x^2 \geq 0$이므로:

$$ u = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2} $$

따라서 교점의 $x$ 좌표는:

$$ x = \pm \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}} $$

면적 계산을 위한 적분 설정

이제 $x$ 좌표가 $-\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}}$에서 $\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}}$ 사이에서 원과 포물선 사이의 면적을 계산합니다. 영역을 나눠 다음과 같은 적분을 설정합니다:

$$ A = 2 \int_0^{\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}}} \left( \sqrt{r^2 - x^2} - x^2 \right) dx $$

여기서:

• $\sqrt{r^2 - x^2}$는 원의 위쪽 반원 방정식입니다.
• $x^2$는 포물선 방정식입니다.

적분 계산

적분을 계산하기 위해 적분식을 두 부분으로 나눕니다:

$$ A = 2 \left( \int_0^{\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}}} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx - \int_0^{\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}}} x^2 \, dx \right) $$

첫 번째 적분: 원의 영역

첫 번째 적분 $\int_0^{\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}}} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx$는 삼각 치환을 이용하여 계산할 수 있습니다:

치환: $x = r \sin\theta, \, dx = r \cos\theta \, d\theta$

적분 한계: $x = 0 \rightarrow \theta = 0$, $x = \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}} \rightarrow \theta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2r^2}}\right)$

적분 결과를 계산하면 원의 면적 부분이 구해집니다.

두 번째 적분: 포물선의 영역

두 번째 적분 $\int_0^{\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + 4r^2}}{2}}} x^2 \, dx$는 다음과 같이 계산됩니다:

$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} $$

적분 한계를 대입하면 포물선의 면적 부분을 구할 수 있습니다.

결론

위의 과정을 통해 원과 포물선 사이의 면적을 계산할 수 있습니다. 구체적인 수치 계산은 치환 적분이나 수치적 방법을 사용하여 해결합니다. 이 방법은 곡선의 교점을 먼저 찾고, 적분 범위를 설정한 후, 각각의 곡선에 대한 적분을 수행하여 전체 면적을 구하는 데 활용됩니다.

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