순환소수를 분수로 나타내는 방법 | 표현 순환마디

순환소수는 소수점 아래의 숫자가 일정하게 반복되는 소수입니다. 예를 들어, 0.333... 또는 0.142857142857...과 같은 소수는 순환소수입니다. 이러한 순환소수를 분수로 나타내는 방법은 간단한 수식을 사용하여 가능합니다. 이번 글에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 단계별로 설명하겠습니다.

순환소수를 분수로 나타내는 방법

1. 순환하는 단일 숫자의 소수를 분수로 나타내기

순환하는 소수가 단일 숫자인 경우, 예를 들어 0.333...과 같이 3이 반복되는 경우를 분수로 나타내는 방법을 알아보겠습니다.

먼저, x = 0.333...이라고 가정합니다. 이 소수를 분수로 변환하기 위해서는 반복되는 부분을 제거해야 합니다. 이를 위해 양쪽에 10을 곱합니다.

10x = 3.333...

이제 두 식의 차를 구해봅니다:

\[ 10x - x = 3.333... - 0.333... \]

이 계산을 통해 반복되는 소수를 없애고, 다음과 같은 결과를 얻습니다:

\[ 9x = 3 \]

따라서 x를 구하면:

\[ x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

따라서 0.333...은 분수로 나타내면 \(\frac{1}{3}\)입니다.

2. 순환하는 여러 숫자의 소수를 분수로 나타내기

이번에는 여러 숫자가 반복되는 순환소수, 예를 들어 0.142857142857...과 같은 소수를 분수로 변환해 보겠습니다.

먼저, x = 0.142857142857...이라고 가정합니다. 여기서 142857이 반복되므로, 반복되는 부분을 없애기 위해 1000000을 곱해봅니다.

1000000x = 142857.142857...

이제 원래 식에서 x를 빼면:

\[ 1000000x - x = 142857.142857... - 0.142857... \]

반복되는 부분이 사라지고 다음과 같은 결과가 나옵니다:

\[ 999999x = 142857 \]

따라서 x를 구하면:

\[ x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7} \]

따라서 0.142857142857...은 분수로 나타내면 \(\frac{1}{7}\)입니다.

3. 순환하지 않는 부분이 있는 순환소수를 분수로 나타내기

이번에는 순환하지 않는 부분이 있는 순환소수, 예를 들어 0.1666...과 같은 소수를 분수로 변환하는 방법을 살펴보겠습니다. 여기서는 소수점 아래 첫 번째 자리는 반복되지 않고, 6이 반복됩니다.

먼저, x = 0.1666...이라고 가정합니다. 반복되는 부분을 없애기 위해 10을 곱합니다.

10x = 1.666...

이제 다시 10을 곱하여 순환 부분을 없애기 위해 100을 곱해봅니다.

100x = 16.666...

이제 두 식의 차를 구합니다:

\[ 100x - 10x = 16.666... - 1.666... \]

반복되는 부분이 사라지면 다음과 같은 결과를 얻습니다:

\[ 90x = 15 \]

따라서 x를 구하면:

\[ x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \]

따라서 0.1666...은 분수로 나타내면 \(\frac{1}{6}\)입니다.

결론

순환소수를 분수로 변환하는 방법은 순환하는 부분을 제거하기 위해 소수의 양쪽에 적절한 수를 곱한 후, 두 식의 차를 구하는 방식으로 진행됩니다. 단순한 순환소수부터 복잡한 순환소수까지 이 방법을 사용하면 쉽게 분수로 변환할 수 있습니다. 이러한 변환은 수학 문제를 풀거나, 소수를 정확하게 표현하는 데 유용하게 사용됩니다.

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