수열과 관련된 주요 공식 모음

수열(sequence)이란 일정한 규칙을 따라 나열된 수의 집합을 의미합니다. 수열은 수학에서 중요한 개념 중 하나이며, 등차수열과 등비수열을 비롯하여 여러 가지 유형이 존재합니다. 이번 글에서는 수열의 기본 정의와 유형, 주요 공식(일반항, 합 공식 등), 그리고 수열의 극한과 활용에 대해 정리하여 소개하겠습니다.

수열의 기본 개념

1. 수열의 정의

수열은 자연수 \( n \)에 대해 특정한 규칙으로 정의된 함수로, 보통 \( a_n \) 또는 \( \{a_n\} \)로 표현됩니다.

• \( a_1, a_2, a_3, \dots \) : 수열의 각 항(term)
• \( n \) : 항의 위치를 나타내는 자연수(순서수)
• \( a_n \) : 수열의 일반항(general term), 즉 \( n \)번째 항

2. 수열의 표현 방식

• **일반항(explicit formula)**: \( a_n \)을 \( n \)에 대한 식으로 표현한 것
• **점화식(recurrence relation)**: 이전 항을 이용하여 다음 항을 정의하는 방식

등차수열 (Arithmetic Sequence)

1. 등차수열의 정의

등차수열은 연속하는 두 항의 차이가 일정한 수열입니다.

• 공차(common difference): \( d = a_{n+1} - a_n \)

2. 등차수열의 일반항

등차수열의 \( n \)번째 항은 다음과 같습니다.

\[ a_n = a_1 + (n-1) d \]

3. 등차수열의 합

등차수열의 처음부터 \( n \)번째 항까지의 합은 다음 공식으로 계산됩니다.

\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]

또는 일반항을 사용하여,

\[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] \]

등비수열 (Geometric Sequence)

1. 등비수열의 정의

등비수열은 연속하는 두 항의 비율(공비, common ratio)이 일정한 수열입니다.

• 공비: \( r = \frac{a_{n+1}}{a_n} \) (\( r \neq 0 \))

2. 등비수열의 일반항

등비수열의 \( n \)번째 항은 다음과 같습니다.

\[ a_n = a_1 r^{n-1} \]

3. 등비수열의 합

등비수열의 처음부터 \( n \)번째 항까지의 합은 다음과 같습니다.

• 공비 \( r \neq 1 \)인 경우:

\[ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

• 공비 \( r = 1 \)인 경우:

\[ S_n = n a_1 \]

4. 무한등비수열의 합

만약 \( |r| < 1 \)이면 무한등비수열의 합은 수렴하며, 다음 공식으로 계산됩니다.

\[ S = \frac{a_1}{1 - r}, \quad (|r| < 1) \]

수열의 극한과 무한급수

1. 수열의 극한 (Limit of Sequence)

수열 \( \{a_n\} \)이 특정 값 \( L \)에 가까워지면, 수열의 극한은 다음과 같이 정의됩니다.

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \]

• 극한이 존재하면 수열은 수렴(convergent)
• 극한이 존재하지 않으면 발산(divergent)

2. 무한급수 (Infinite Series)

급수란 수열의 항들을 계속 더하는 연산입니다. 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.

\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

3. 조화수열 (Harmonic Sequence)

조화수열은 다음과 같이 정의됩니다.

\[ a_n = \frac{1}{n} \]

이 수열의 합(조화급수)은 다음과 같이 표현됩니다.

\[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \]

수열의 활용

1. 금융에서의 활용

등비수열은 복리 이자 계산에서 활용됩니다.

\[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]

• \( A \) : 최종 금액
• \( P \) : 원금
• \( r \) : 연이율
• \( n \) : 1년 동안 이자 지급 횟수
• \( t \) : 투자 기간(년)

2. 피보나치 수열

피보나치 수열은 다음과 같은 점화식으로 정의됩니다.

\[ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_1 = 1, F_2 = 1 \]

결론

수열은 등차수열과 등비수열을 비롯하여 다양한 형태가 있으며, 금융, 물리학, 컴퓨터 과학 등 여러 분야에서 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서 정리한 공식을 활용하면 수열 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다.