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수학

산술평균, 기하평균, 조화평균 대소관계 증명하기

by 여행과 수학 2022. 11. 27.
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두 개의 수를 기준으로 한 산술평균, 기하평균, 조화 평균은 다음과 같은 식을 갖는다.

부등식
산술평균, 기하평균, 조화평균 대소관계

또한 이를 일반화시키면 아래와 같은 부등식을 얻을 수 있다.

대소관계
일반적인 산술평균, 기하평균, 조화평균 대소관계

산술평균, 기하평균, 조화평균은 다음과 같은 대소 관계를 갖는다. 왜 이러한 대소 관계를 가지는지 기하학적, 대수적 방법 총 2가지로 증명해보자.

 

1. 기하학적 증명

기하학적 증명
기하학적 증명

원을 그려서 반지름과 선분의 길이를 비교하면, 위 부등식을 쉽게 시각적으로 보일 수 있다.

 

2. 대수적인 증명

일반적인 식을 증명하기 위해 부등식을 부분으로 나누어 각각 증명해보자.

 

a1+a2++annna1a2ana1+a2++annna1a2an 증명하기

(증명) 수학적 귀납법으로 증명하기

n=21n=21일 때

(a1a2)20(a1a2)20이므로

a1+a22a1a20a1+a22a1a20 (a1a1, a2>0a2>0)이다.

a1+a22a1a2a1+a22a1a2 이다.

따라서 n=21n=21일 때 부등식이 성립한다.

 

n=2kn=2k일때 부등식이 성립한다고 가정하면,

a1+a2++a2k2k2ka1a2a2ka1+a2++a2k2k2ka1a2a2k

 

양수 a1a1, a2a2, , a2k+1a2k+1 에서

a1+a2++a2k+12k+1=(a1+a2++a2k)+(a2k+1+a2k+2++a2k+1)2k+1a1+a2++a2k+12k+1=(a1+a2++a2k)+(a2k+1+a2k+2++a2k+1)2k+1

=12{a1+a2++a2k2k+a2k+1a2k+2a2k+12k}=12{a1+a2++a2k2k+a2k+1a2k+2a2k+12k}

2ka1a2a2k2ka2k+1a2k+2a2k+12=2ka1a2a2k+122ka1a2a2k2ka2k+1a2k+2a2k+12=2ka1a2a2k+12

2k+1a1a2a2k+12k+1a1a2a2k+1 이다.

따라서 n=2k+1n=2k+1일때 부등식이 성립한다.

 

이번에는 n=kn=k일때 부등식이 성립한다고 가정하면,

양수 a1a1, a2a2, , a2k+1a2k+1에서

a1+a2++ak1k1=kk1(a1+a2++ak1)ka1+a2++ak1k1=kk1(a1+a2++ak1)k

a1+a2++ak1+a1+a2++ak1k1ka1+a2++ak1+a1+a2++ak1k1k

ka1a2ak1(a1+a2++ak1k1)ka1a2ak1(a1+a2++ak1k1)

a1+a2++ak1k1ka1a2ak1(a1+a2++ak1k1)a1+a2++ak1k1ka1a2ak1(a1+a2++ak1k1)

(a1+a2++ak1k1)ka1a2ak1(a1+a2++ak1k1)(a1+a2++ak1k1)ka1a2ak1(a1+a2++ak1k1)

(a1+a2++ak1k1)k1a1a2ak1(a1+a2++ak1k1)k1a1a2ak1

a1+a2+ak1k1k1a1a2ak1a1+a2+ak1k1k1a1a2ak1

따라서 n=k1n=k1일때 부등식이 성립한다.

 

따라서 모든 자연수 nn에 대해서 a1+a2++annna1a2ana1+a2++annna1a2an 이 성립한다.

 

na1a2an1(1a1+1a2+1a3++1an)nna1a2an1(1a1+1a2+1a3++1an)n 증명하기

산술평균, 기하평균 대소관계에 의해

na1anan1++na1anan1nnna1anan1na1anann=nnan1annan1ann=1na1anan1++na1anan1nnna1anan1na1anann=nnan1annan1ann=1 이고,

na1anan1++na1anannn=na1ana1++na1anann=na1an×(1a1+1a2++1an)n1na1anan1++na1anannn=na1ana1++na1anann=na1an×(1a1+1a2++1an)n1

따라서 na1a2an1(1an+1a2++1an)nna1a2an1(1an+1a2++1an)n

가 성립한다.

 

a1+a2+a3++annna1a2an1(1a1+1a2+1a3++1an)n

 

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