두 개의 수를 기준으로 한 산술평균, 기하평균, 조화 평균은 다음과 같은 식을 갖는다.

또한 이를 일반화시키면 아래와 같은 부등식을 얻을 수 있다.

산술평균, 기하평균, 조화평균은 다음과 같은 대소 관계를 갖는다. 왜 이러한 대소 관계를 가지는지 기하학적, 대수적 방법 총 2가지로 증명해보자.
1. 기하학적 증명

원을 그려서 반지름과 선분의 길이를 비교하면, 위 부등식을 쉽게 시각적으로 보일 수 있다.
2. 대수적인 증명
일반적인 식을 증명하기 위해 부등식을 부분으로 나누어 각각 증명해보자.
a1+a2+⋯+ann≥n√a1a2⋯ana1+a2+⋯+ann≥n√a1a2⋯an 증명하기
(증명) 수학적 귀납법으로 증명하기
n=21n=21일 때
(√a1−√a2)2≥0(√a1−√a2)2≥0이므로
a1+a2−2√a1a2≥0a1+a2−2√a1a2≥0 (a1a1, a2>0a2>0)이다.
a1+a22≥√a1a2a1+a22≥√a1a2 이다.
따라서 n=21n=21일 때 부등식이 성립한다.
n=2kn=2k일때 부등식이 성립한다고 가정하면,
a1+a2+⋯+a2k2k≥2k√a1a2⋯a2ka1+a2+⋯+a2k2k≥2k√a1a2⋯a2k
양수 a1a1, a2a2, ⋯⋯, a2k+1a2k+1 에서
a1+a2+⋯+a2k+12k+1=(a1+a2+⋯+a2k)+(a2k+1+a2k+2+⋯+a2k+1)2k+1a1+a2+⋯+a2k+12k+1=(a1+a2+⋯+a2k)+(a2k+1+a2k+2+⋯+a2k+1)2k+1
=12{a1+a2+⋯+a2k2k+a2k+1a2k+2a2k+12k}=12{a1+a2+⋯+a2k2k+a2k+1a2k+2a2k+12k}
≥2k√a1a2⋯a2k2k√a2k+1a2k+2⋯a2k+12=2k√a1a2⋯a2k+12≥2k√a1a2⋯a2k2k√a2k+1a2k+2⋯a2k+12=2k√a1a2⋯a2k+12
≥2k+1√a1a2⋯a2k+1≥2k+1√a1a2⋯a2k+1 이다.
따라서 n=2k+1n=2k+1일때 부등식이 성립한다.
이번에는 n=kn=k일때 부등식이 성립한다고 가정하면,
양수 a1a1, a2a2, ⋯⋯, a2k+1a2k+1에서
a1+a2+⋯+ak−1k−1=kk−1(a1+a2+⋯+ak−1)ka1+a2+⋯+ak−1k−1=kk−1(a1+a2+⋯+ak−1)k
a1+a2+⋯+ak−1+a1+a2+⋯+ak−1k−1ka1+a2+⋯+ak−1+a1+a2+⋯+ak−1k−1k
≥k√a1a2⋯ak−1(a1+a2+⋯+ak−1k−1)≥k√a1a2⋯ak−1(a1+a2+⋯+ak−1k−1)
a1+a2+⋯+ak−1k−1≥k√a1a2⋯ak−1(a1+a2+⋯+ak−1k−1)a1+a2+⋯+ak−1k−1≥k√a1a2⋯ak−1(a1+a2+⋯+ak−1k−1)
(a1+a2+⋯+ak−1k−1)k≥a1a2⋯ak−1(a1+a2+⋯+ak−1k−1)(a1+a2+⋯+ak−1k−1)k≥a1a2⋯ak−1(a1+a2+⋯+ak−1k−1)
(a1+a2+⋯+ak−1k−1)k−1≥a1a2⋯ak−1(a1+a2+⋯+ak−1k−1)k−1≥a1a2⋯ak−1
a1+a2+⋯ak−1k−1≥k−1√a1a2⋯ak−1a1+a2+⋯ak−1k−1≥k−1√a1a2⋯ak−1
따라서 n=k−1n=k−1일때 부등식이 성립한다.
따라서 모든 자연수 nn에 대해서 a1+a2+⋯+ann≥n√a1a2⋯ana1+a2+⋯+ann≥n√a1a2⋯an 이 성립한다.
n√a1a2⋯an≥1(1a1+1a2+1a3+⋯+1an)nn√a1a2⋯an≥1(1a1+1a2+1a3+⋯+1an)n 증명하기
산술평균, 기하평균 대소관계에 의해
n√a1⋯anan1+⋯+n√a1⋯anan1n≥n√n√a1⋯anan1⋯n√a1⋯anann=n√n√an1⋯annan1⋯ann=1n√a1⋯anan1+⋯+n√a1⋯anan1n≥n√n√a1⋯anan1⋯n√a1⋯anann=n√n√an1⋯annan1⋯ann=1 이고,
n√a1⋯anan1+⋯+n√a1⋯anannn=n√a1⋯ana1+⋯+n√a1⋯anann=n√a1⋯an×(1a1+1a2+⋯+1an)n≥1n√a1⋯anan1+⋯+n√a1⋯anannn=n√a1⋯ana1+⋯+n√a1⋯anann=n√a1⋯an×(1a1+1a2+⋯+1an)n≥1
따라서 n√a1a2⋯an≥1(1an+1a2+⋯+1an)nn√a1a2⋯an≥1(1an+1a2+⋯+1an)n
가 성립한다.
∴a1+a2+a3+⋯+ann≥n√a1a2⋯an≥1(1a1+1a2+1a3+⋯+1an)n
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