벡터와 선형 사상의 관계

벡터와 선형 사상은 선형대수학에서 중요한 개념으로, 선형 사상을 통해 벡터 공간 내에서 벡터를 변환하는 방법을 설명할 수 있습니다. 선형 사상은 벡터의 덧셈과 스칼라 곱에 대해 선형성을 유지하는 변환을 의미하며, 이를 통해 벡터 공간의 성질을 분석하고 다양한 문제를 해결할 수 있습니다. 이 글에서는 선형 사상의 정의, 행렬 표현, 그리고 벡터와의 관계에 대해 살펴보겠습니다.

선형 사상의 정의

선형 사상(linear transformation)은 벡터 공간 \( V \)에서 \( W \)로의 변환 \( T: V \rightarrow W \)으로, 두 가지 조건을 만족합니다:

• 덧셈에 대한 선형성: \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \)
• 스칼라 곱에 대한 선형성: \( T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v}) \) (여기서 \( c \)는 스칼라 값)

이 조건들을 만족하는 변환은 선형 변환 또는 선형 사상이라고 하며, 벡터 공간의 구조를 보존하면서 벡터를 다른 벡터로 변환합니다. 예를 들어, 2차원 평면에서의 회전이나 확대/축소는 선형 사상의 대표적인 예입니다.

선형 사상의 행렬 표현

선형 사상은 행렬로 표현할 수 있습니다. 특히, 벡터 공간 \( V \)와 \( W \)의 기저가 주어졌을 때, 선형 사상 \( T: V \rightarrow W \)를 나타내는 행렬 \( A \)가 존재하여 \( T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} \)로 표현할 수 있습니다.

예를 들어, 2차원 공간에서 벡터 \( \mathbf{v} = (x, y) \)에 선형 사상 \( T \)가 행렬 \( A \)로 작용할 때, 변환 결과는 다음과 같습니다:

$$ T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}x + a_{12}y \\ a_{21}x + a_{22}y \end{bmatrix} $$

이와 같은 행렬 표현을 통해 선형 사상을 명확히 나타낼 수 있으며, 벡터의 변환 과정을 수식적으로 이해할 수 있습니다.

선형 사상의 예시

1. 회전 변환

2차원 공간에서 벡터 \( \mathbf{v} = (x, y) \)를 원점 기준으로 \( \theta \)만큼 회전시키는 선형 사상 \( T \)는 다음과 같은 회전 행렬 \( R(\theta) \)로 표현됩니다:

$$ T(\mathbf{v}) = R(\theta) \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$

이 행렬은 벡터의 크기를 유지하면서 방향을 \( \theta \)만큼 회전시키는 역할을 합니다.

2. 확대와 축소 변환

벡터 \( \mathbf{v} = (x, y) \)를 특정 비율 \( k \)로 확대하거나 축소하는 변환은 다음과 같은 스케일링 행렬 \( S \)로 표현됩니다:

$$ T(\mathbf{v}) = S \mathbf{v} = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx \\ ky \end{bmatrix} $$

이 변환은 벡터의 방향은 유지하면서 크기만 \( k \)배로 조정합니다.

3. 반사 변환

벡터를 특정 축에 대해 대칭으로 반사시키는 변환도 선형 사상입니다. 예를 들어, x축에 대해 대칭으로 반사시키는 변환은 다음과 같은 행렬로 표현됩니다:

$$ T(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix} $$

이 변환은 y좌표의 부호를 바꾸어 x축에 대해 반사시킨 벡터를 얻습니다.

고유벡터와 고유값과의 관계

선형 사상에서 중요한 개념 중 하나는 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)입니다. 행렬 \( A \)의 고유벡터 \( \mathbf{v} \)는 선형 사상 \( T \)가 작용할 때 방향이 변하지 않는 벡터이며, 그 크기는 고유값 \( \lambda \)만큼 변합니다. 고유값과 고유벡터의 관계는 다음과 같은 방정식으로 정의됩니다:

$$ T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$

이 관계를 통해 선형 사상이 특정 벡터에 대해 어떻게 작용하는지 분석할 수 있으며, 행렬의 성질을 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.

결론

벡터와 선형 사상은 선형대수학에서 벡터 공간의 구조를 보존하며, 다양한 변환을 설명하는 데 필수적인 개념입니다. 선형 사상은 행렬로 표현되며, 이를 통해 회전, 확대, 축소, 반사와 같은 다양한 변환을 수식적으로 설명할 수 있습니다. 또한 고유값과 고유벡터의 개념은 선형 사상이 벡터에 작용할 때의 변화를 분석하는 데 중요한 도구로, 다양한 응용 분야에서 널리 사용됩니다.

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