머신러닝 손실 함수의 기울기 계산

머신러닝 모델을 훈련하는 과정에서 손실 함수를 최소화하는 것은 핵심 과제입니다. 이를 위해 손실 함수의 기울기를 계산하여 매개변수(가중치 및 편향)를 최적화합니다. 경사 하강법(Gradient Descent)과 같은 최적화 알고리즘은 손실 함수의 기울기를 기반으로 동작하며, 효율적인 학습을 가능하게 합니다. 이번 글에서는 머신러닝 손실 함수의 기울기를 계산하는 방법과 실제 적용 사례를 살펴보겠습니다.

1. 손실 함수의 정의

손실 함수는 모델의 예측값과 실제값 간의 차이를 측정하며, 이를 최소화하는 것이 목표입니다. 대표적인 손실 함수는 다음과 같습니다:

• 평균 제곱 오차 (MSE): 회귀 문제에서 자주 사용되는 손실 함수

$$L = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$$

• 교차 엔트로피 손실: 분류 문제에서 사용되는 손실 함수

$$L = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k y_{ij} \log(\hat{y}_{ij})$$

2. 손실 함수의 기울기 계산

손실 함수의 기울기는 모델의 매개변수(가중치 \(w\) 및 편향 \(b\))에 대한 변화율을 나타냅니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다:

$$\frac{\partial L}{\partial w}, \quad \frac{\partial L}{\partial b}$$

2.1 평균 제곱 오차 (MSE)의 기울기

손실 함수가 \(L = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2\)일 때, 가중치 \(w\)에 대한 기울기는 다음과 같이 계산됩니다:

$$\frac{\partial L}{\partial w} = -\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i) \frac{\partial \hat{y}_i}{\partial w}$$

여기서 \(\hat{y}_i = w x_i + b\)로 가정하면:

$$\frac{\partial \hat{y}_i}{\partial w} = x_i$$

따라서:

$$\frac{\partial L}{\partial w} = -\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)x_i$$

편향 \(b\)에 대한 기울기는 다음과 같습니다:

$$\frac{\partial L}{\partial b} = -\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)$$

2.2 교차 엔트로피 손실의 기울기

교차 엔트로피 손실 \(L = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k y_{ij} \log(\hat{y}_{ij})\)에 대해, 예측 확률 \(\hat{y}_{ij}\)에 대한 기울기는 다음과 같습니다:

$$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}_{ij}} = -\frac{1}{n} \frac{y_{ij}}{\hat{y}_{ij}}$$

이를 활용하여 역전파(Backpropagation)를 통해 각 매개변수의 기울기를 계산합니다.

3. 경사 하강법을 이용한 매개변수 업데이트

계산된 기울기를 사용하여 경사 하강법 알고리즘을 적용합니다. 업데이트 공식은 다음과 같습니다:

$$w_{t+1} = w_t - \eta \frac{\partial L}{\partial w}, \quad b_{t+1} = b_t - \eta \frac{\partial L}{\partial b}$$

여기서 \(\eta\)는 학습률입니다.

4. 실제 응용

손실 함수의 기울기 계산은 다양한 머신러닝 모델에서 사용됩니다:

• 선형 회귀: 평균 제곱 오차를 최소화하여 최적의 가중치와 편향을 찾습니다.
• 로지스틱 회귀: 교차 엔트로피 손실을 최소화하여 클래스 확률을 예측합니다.
• 딥러닝: 역전파 알고리즘을 통해 다층 신경망의 모든 가중치를 업데이트합니다.

결론

손실 함수의 기울기 계산은 머신러닝 모델 훈련 과정에서 필수적인 단계입니다. 이를 통해 모델의 매개변수를 최적화하고 예측 성능을 개선할 수 있습니다. 경사 하강법과 같은 기법을 기반으로 다양한 데이터 문제를 해결할 수 있으며, 이는 현대 머신러닝 기술의 핵심을 이루고 있습니다.

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