단조 수열과 극한의 관계 | 수렴 발산

수열은 수학에서 매우 중요한 개념으로, 주어진 규칙에 따라 나열된 수의 집합을 의미합니다. 수열의 변화 방향과 극한의 관계는 수열의 성질을 이해하는 데 필수적인 요소입니다. 특히, 단조 수열은 일정한 방향으로만 변하는 수열로, 극한과 밀접한 관계를 갖습니다. 이번 포스트에서는 단조 수열과 극한의 관계를 체계적으로 살펴보고, 수렴과 발산의 의미까지 함께 탐구하겠습니다.

단조 수열의 정의와 종류

단조 수열이란, 수열의 항들이 한 방향으로만 변화하는 수열을 의미합니다. 구체적으로는 다음 두 가지로 나눌 수 있습니다.

단조 증가 수열 (Monotone Increasing Sequence)

수열의 각 항이 다음 항보다 크지 않은 수열입니다. 즉, 다음 조건을 만족합니다.

\[ a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \]

단조 감소 수열 (Monotone Decreasing Sequence)

수열의 각 항이 다음 항보다 작지 않은 수열입니다. 즉, 다음 조건을 만족합니다.

\[ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots \]

단조 수열과 극한의 관계

단조 수열이 극한과 어떤 관계를 갖는지는 "단조 수열의 수렴 정리"로 잘 알려져 있습니다.

단조 수열의 수렴 정리

단조 증가 수열이 상한을 가진다면, 그 수열은 반드시 상한에 수렴합니다.

단조 감소 수열이 하한을 가진다면, 그 수열은 반드시 하한에 수렴합니다.

이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

단조 증가 수열 \(\{a_n\}\)가 다음을 만족하면,

\[ a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \quad \text{그리고} \quad \sup \{a_n\} = L < \infty \] \[ \lim_{n \to \infty}a_n = L \]

단조 감소 수열 \(\{a_n\}\)가 다음을 만족하면,

\[ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots \quad \text{그리고} \quad \inf \{a_n\} = L > -\infty \] \[ \lim_{n \to \infty}a_n = L \]

단조 수열의 발산 조건

단조 수열이 수렴하지 않고 발산하는 경우도 있습니다. 대표적인 예는 다음과 같습니다.

• 단조 증가 수열이 상한 없이 무한히 커지는 경우
• 단조 감소 수열이 하한 없이 무한히 작아지는 경우

이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

\[ a_n \nearrow \infty \implies \lim_{n \to \infty}a_n = \infty \]

\[ a_n \searrow -\infty \implies \lim_{n \to \infty}a_n = -\infty \]

이처럼 단조 수열은 반드시 수렴하는 것은 아니며, 상한 또는 하한이 없으면 발산할 수 있습니다.

단조 수열과 극한의 직관적 이해

단조 수열의 극한을 이해하는 쉬운 방법은 ‘계단 오르기’ 또는 ‘계단 내리기’에 비유할 수 있습니다.

- 단조 증가 수열: 계단을 계속 올라가며, 일정한 높이에 다다르면 그곳이 극한 값.

- 단조 감소 수열: 계단을 계속 내려가며, 일정한 바닥에 도달하면 그곳이 극한 값.

- 상한/하한이 없다면, 끝없이 올라가거나 내려가며 발산.

수렴과 발산 예시

수렴하는 단조 증가 수열 예시

다음 수열을 생각해봅시다.

\[ a_n = 1 - \frac{1}{n} \]

이 수열은 증가하며, 상한은 1입니다. 따라서,

\[ \lim_{n \to \infty}a_n = 1 \]

발산하는 단조 증가 수열 예시

\[ a_n = n \]

이 수열은 상한이 없으므로,

\[ \lim_{n \to \infty}a_n = \infty \]

수렴하는 단조 감소 수열 예시

\[ a_n = \frac{1}{n} \]

이 수열은 감소하며, 하한은 0입니다. 따라서,

\[ \lim_{n \to \infty}a_n = 0 \]

결론

단조 수열은 일정한 방향으로만 변하는 수열로, 극한과 밀접한 관계를 가집니다. 상한이나 하한이 존재하는 경우 반드시 그 값에 수렴하며, 상한이나 하한이 없다면 무한대로 발산합니다.

이러한 특성은 수열의 극한을 연구할 때 강력한 도구가 되며, 수열의 수렴성 판단 기준으로도 매우 유용합니다. 단조 수열의 개념과 극한의 관계를 확실히 이해한다면, 다양한 극한 문제에서 큰 도움이 될 것입니다.