기하분포 실생활 활용 예시 10가지 모음 사례

기하분포는 사건이 처음으로 성공할 때까지의 실패 횟수를 모델링하는 이산 확률분포입니다. 기하분포는 성공 확률이 일정하고, 각 시행이 독립적일 때 사용되며, 주로 몇 번의 시도 끝에 처음으로 성공이 나오는지 예측할 수 있는 문제를 해결하는 데 유용합니다. 이 글에서는 기하분포가 실생활에서 어떻게 활용되는지 구체적인 예시와 공식을 통해 살펴보겠습니다.

1. 주사위에서 특정 숫자가 처음 나올 때까지의 던지기 횟수

주사위를 던져서 특정 숫자(예: 6)가 나올 확률은 \( \frac{1}{6} \)입니다. 주사위를 던졌을 때 처음 6이 나올 때까지 몇 번 던져야 하는지 기하분포를 통해 계산할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = \frac{1}{6}\) (6이 나올 확률)
• \(k\)는 첫 성공까지의 시도 횟수

이 수식을 통해 처음 6이 나올 때까지 \(k\)번 던질 확률을 계산할 수 있습니다.

2. 동전 던지기에서 앞면이 처음 나올 때까지의 횟수

동전 던지기에서 앞면이 나올 확률은 \(p = 0.5\)입니다. 동전을 던졌을 때 앞면이 처음 나올 때까지 던져야 하는 횟수는 기하분포로 계산할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.5\) (앞면이 나올 확률)
• \(k\)는 첫 성공(앞면)까지의 던지기 횟수

이 수식을 통해 첫 앞면이 나올 때까지 \(k\)번 던질 확률을 계산할 수 있습니다.

3. 첫 번째 고객이 전화할 때까지의 시간

콜센터에서 고객이 전화할 확률이 일정하다고 가정하면, 첫 번째 고객이 전화할 때까지 걸리는 시도 횟수는 기하분포를 따릅니다. 예를 들어, 1분당 고객이 전화할 확률이 \(p = 0.1\)일 때, 첫 전화가 걸려올 확률을 계산할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.1\) (전화가 걸려올 확률)
• \(k\)는 첫 전화까지의 분

이 수식을 통해 첫 번째 전화가 걸려오기까지 걸리는 시간(분)을 계산할 수 있습니다.

4. 복권에서 처음 당첨될 때까지의 시도 횟수

복권에서 당첨될 확률이 매우 낮지만 일정한 확률로 당첨될 경우, 처음 당첨되기까지의 시도 횟수는 기하분포로 모델링할 수 있습니다. 예를 들어, 복권 당첨 확률이 \(p = 0.0001\)일 때, 처음 당첨되기까지 몇 번의 시도가 필요한지 기하분포로 예측할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.0001\) (당첨 확률)
• \(k\)는 첫 당첨까지의 시도 횟수

이 수식을 통해 복권에 처음 당첨될 때까지 걸리는 시도 횟수를 계산할 수 있습니다.

5. 전구가 처음 고장 날 때까지의 사용 횟수

전구가 일정한 확률로 고장 나는 경우, 처음 고장 날 때까지의 사용 횟수는 기하분포를 따릅니다. 예를 들어, 특정 전구가 매일 고장 날 확률이 \(p = 0.005\)일 때, 첫 고장까지의 일수를 기하분포로 계산할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.005\) (전구 고장 확률)
• \(k\)는 처음 고장 날 때까지의 일수

이 수식을 통해 전구가 고장 날 때까지의 사용 횟수를 계산할 수 있습니다.

6. 첫 번째 판매 성공까지의 시도 횟수

영업 사원이 특정 고객에게 제품을 판매할 확률이 \(p = 0.2\)라고 할 때, 첫 번째 판매 성공까지의 시도 횟수를 기하분포로 모델링할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.2\) (판매 성공 확률)
• \(k\)는 첫 판매 성공까지의 시도 횟수

이 수식을 통해 첫 판매 성공까지 몇 번의 시도가 필요한지 계산할 수 있습니다.

7. 첫 번째 바이러스 감염까지의 시도 횟수

컴퓨터 시스템이 바이러스에 감염될 확률이 일정할 때, 첫 번째 바이러스 감염까지의 시도 횟수는 기하분포를 따릅니다. 예를 들어, 매일 시스템이 바이러스에 감염될 확률이 \(p = 0.001\)일 때, 첫 감염까지의 일수를 예측할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.001\) (감염 확률)
• \(k\)는 첫 감염까지의 일수

이 수식을 통해 첫 바이러스 감염까지 걸리는 시도 횟수를 예측할 수 있습니다.

8. 스포츠 경기에서 첫 득점까지의 시도 횟수

스포츠 경기에서 선수나 팀이 득점할 확률이 일정할 때, 첫 득점까지의 시도 횟수는 기하분포로 모델링할 수 있습니다. 예를 들어, 특정 축구팀이 매 5분 동안 득점할 확률이 \(p = 0.1\)일 때, 첫 득점까지 걸리는 시간을 계산할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.1\) (득점 확률)
• \(k\)는 첫 득점까지의 5분 단위 시도 횟수

이 수식을 통해 첫 득점까지의 시간을 예측할 수 있습니다.

9. 첫 제품 결함 발견까지의 검사 횟수

제품 검사 중에 결함을 발견할 확률이 일정하다고 가정할 때, 첫 결함을 발견하기까지의 검사 횟수는 기하분포로 모델링할 수 있습니다. 결함이 발견될 확률이 \(p = 0.03\)이라면, 첫 결함이 발견될 때까지의 검사를 기하분포로 설명할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.03\) (결함 발견 확률)
• \(k\)는 첫 결함 발견까지의 검사 횟수

이 수식을 통해 첫 결함을 발견할 때까지의 검사 횟수를 예측할 수 있습니다.

10. 도박에서 첫 번째 승리까지의 시도 횟수

도박에서 특정 확률로 승리할 때, 첫 번째 승리까지의 시도 횟수는 기하분포를 따릅니다. 예를 들어, 도박에서 이길 확률이 \(p = 0.05\)일 때, 첫 승리까지 몇 번의 시도가 필요한지 기하분포로 계산할 수 있습니다.

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \]

여기서,

• \(p = 0.05\) (승리 확률)
• \(k\)는 첫 승리까지의 시도 횟수

이 수식을 통해 첫 승리까지 몇 번의 시도가 필요한지 예측할 수 있습니다.

결론

기하분포는 성공 확률이 일정하고 독립적인 실험에서 첫 성공까지의 시도 횟수를 모델링하는 데 매우 유용합니다. 주사위 던지기, 동전 던지기, 복권 당첨, 고객 문의, 제품 검사 등 다양한 실생활 사례에서 기하분포를 통해 첫 성공까지의 시도 횟수를 계산하고 예측할 수 있습니다. 이를 통해 다양한 상황에서 사건 발생을 더 잘 이해하고 관리할 수 있습니다.

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