계차수열 관련 공식 총정리 | 일반항 등

계차수열은 수열의 규칙성을 분석하고 일반항을 도출하는 데 매우 중요한 수학적 개념입니다. 수열의 항들 사이의 차이를 통해 숨겨진 패턴을 찾아내고, 이를 기반으로 수열의 성질과 일반항을 구할 수 있습니다. 본 글에서는 계차수열의 정의, 각 계차수열의 공식, 일반항 도출 방법, 그리고 다양한 예제와 함께 계차수열과 관련된 주요 공식을 총정리합니다.

계차수열의 정의

계차수열(差次數列, Difference Sequence)은 주어진 수열의 항들 사이의 차이를 통해 생성된 새로운 수열입니다. 특정 수열 $\{a_n\}$이 있을 때, 연속된 항들의 차이를 통해 1계차수열을 생성할 수 있으며, 이를 반복하여 2계차수열, 3계차수열 등의 고계차수열을 생성할 수 있습니다.

계차수열의 종류와 공식

1계차수열

1계차수열은 연속된 항의 차이로 정의됩니다.

$$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$$

예시: 수열 $\{a_n\} = \{2, 5, 10, 17, 26\}$의 경우,

$$\Delta a_n = \{3, 5, 7, 9\}$$

1계차수열이 일정한 값(예: 등차수열)인 경우, 원래 수열은 일차 함수 형태입니다.

2계차수열

2계차수열은 1계차수열의 차이를 통해 구합니다.

$$\Delta^2 a_n = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n$$

예시: 1계차수열이 $\{3, 5, 7, 9\}$일 때,

$$\Delta^2 a_n = \{2, 2, 2\}$$

2계차수열이 일정한 값이면, 원래 수열은 2차 함수 형태입니다.

3계차수열과 고계차수열

3계차수열은 2계차수열의 차이를 통해 구합니다.

$$\Delta^3 a_n = \Delta^2 a_{n+1} - \Delta^2 a_n$$

3계차수열이 일정한 값이면, 원래 수열은 3차 함수 형태입니다. 이를 일반화하면 다음과 같습니다.

• 1계차 일정: 일차 함수 $a_n = an + b$
• 2계차 일정: 이차 함수 $a_n = an^2 + bn + c$
• 3계차 일정: 삼차 함수 $a_n = an^3 + bn^2 + cn + d$

계차수열을 통한 일반항 도출 방법

1계차수열을 통한 일반항 도출

1계차수열이 일정한 경우, 원래 수열은 등차수열로 표현됩니다.

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

여기서,

• $a_1$: 첫 번째 항
• $d$: 공차(1계차수열의 값)

예시: $\{3, 7, 11, 15\}$의 일반항은 다음과 같습니다.

$$a_n = 3 + (n-1) \times 4 = 4n - 1$$

2계차수열을 통한 일반항 도출

2계차수열이 일정한 경우, 수열은 2차 함수로 표현됩니다.

$$a_n = an^2 + bn + c$$

세 개의 항을 대입하여 방정식을 세우고, $a$, $b$, $c$ 값을 구할 수 있습니다.

예시: $\{2, 5, 10, 17, 26\}$의 경우,

$$a_n = n^2 + 1$$

3계차수열을 통한 일반항 도출

3계차수열이 일정한 경우, 일반항은 3차 함수 형태입니다.

$$a_n = an^3 + bn^2 + cn + d$$

네 개의 항을 대입하여 $a$, $b$, $c$, $d$ 값을 도출할 수 있습니다.

계차수열 관련 주요 공식 총정리

1계차수열 공식

• 정의: $$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$$
• 일반항(등차수열): $$a_n = a_1 + (n-1)d$$
• 합 공식: $$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$

2계차수열 공식

• 정의: $$\Delta^2 a_n = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n$$
• 일반항(2차 함수): $$a_n = an^2 + bn + c$$
• 합 공식: $$S_n = \frac{a}{3}n(n+1)(2n+1) + \frac{b}{2}n(n+1) + cn$$

3계차수열 공식

• 정의: $$\Delta^3 a_n = \Delta^2 a_{n+1} - \Delta^2 a_n$$
• 일반항(3차 함수): $$a_n = an^3 + bn^2 + cn + d$$
• 합 공식: $$S_n = \frac{a}{4}n^2(n+1)^2 + \frac{b}{3}n(n+1)(2n+1) + \frac{c}{2}n(n+1) + dn$$

계차수열과 실제 예제

예제 1: 1계차수열

수열 $\{5, 9, 13, 17\}$의 일반항을 구하시오.

1계차수열: $\{4, 4, 4\}$ 공차 $d = 4$, 첫째 항 $a_1 = 5$ $$a_n = 5 + (n-1) \times 4 = 4n + 1$$

예제 2: 2계차수열

수열 $\{1, 4, 9, 16, 25\}$의 일반항을 구하시오.

1계차수열: $\{3, 5, 7, 9\}$ 2계차수열: $\{2, 2, 2\}$ 2계차 일정 → 2차 함수 $$a_n = n^2$$

예제 3: 3계차수열

수열 $\{1, 8, 27, 64, 125\}$의 일반항을 구하시오.

1계차수열: $\{7, 19, 37, 61\}$ 2계차수열: $\{12, 18, 24\}$ 3계차수열: $\{6, 6\}$ 3계차 일정 → 3차 함수 $$a_n = n^3$$

결론

계차수열은 수열의 규칙성과 성질을 분석하는 강력한 도구입니다. 1계차수열이 일정하면 등차수열, 2계차수열이 일정하면 2차 함수, 3계차수열이 일정하면 3차 함수 형태의 일반항을 갖습니다. 본 글에서는 각 계차수열의 정의, 주요 공식, 일반항 도출 방법 및 다양한 예제를 통해 계차수열의 개념을 종합적으로 정리했습니다.

계차수열의 원리와 공식을 이해하면, 수학적 문제 해결 능력을 높일 뿐만 아니라 데이터 분석, 시계열 예측 등 실생활에서도 유용하게 활용할 수 있습니다. 복잡한 수열 문제에서도 계차수열을 통해 숨겨진 패턴을 찾아내고 해답을 도출할 수 있는 능력을 키워보세요.