헤론의 공식 증명하기

삼각형의 세 변의 길이가 주어진 경우에 넓이를 구하는 방법이 헤론의 공식이다.

 

헤론의 공식

헤론의 공식

삼각형의 넓이를 구하는 공식은 아래와 같다.

$S=\frac{1}{2}bc \rm sin \it A$

 

헤론의 공식 유도하는 방법

$\rm sin^2 \it A=1-\rm cos^2 \it A=\rm (1+cos \it A \rm )(1-cos \it A \rm )$

$=(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})$ (제2코사인법칙)

$=(\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc})(\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc})$

$=\frac{1}{4b^2c^2}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

 

$2s=a+b+c$ 라 하면,

$2(s-a)=-a+b+c$

$2(s-b)=a-b+c$

$2(s-c)=a+b-c$ 이고,

 

$\rm sin^2 \it A$ $=\frac{1}{4b^2c^2}\times 2s \times 2(s-a) \times 2(s-b) \times 2(s-c)$

$=\frac{4}{b^2c^2} \times s(s-a)(s-b)(s-c)$

 

$\rm sin \it A$ $=\frac{2}{bc} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

 

따라서 $S=\frac{1}{2}bc \rm sin \it A$ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (단, $s=\frac{a+b+c}{2}$)