이차함수의 꼭짓점과 대칭축 구하는 방법

이차함수는 포물선의 형태를 가지며, 그래프에서 가장 중요한 요소 중 하나는 꼭짓점(vertex)과 대칭축(axis of symmetry)입니다. 이 글에서는 이차함수의 꼭짓점과 대칭축을 구하는 방법을 쉽게 설명하고, 예제와 함께 개념을 확실히 정리하겠습니다.

이차함수란?

이차함수(Quadratic Function)는 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.

$$ y = ax^2 + bx + c $$

여기서,

• \( a, b, c \)는 상수
• \( a \neq 0 \) (이차항이 있어야 이차함수)
• 그래프는 **포물선**(parabola) 형태

이차함수의 그래프에서 가장 중요한 점은 꼭짓점(최대 또는 최소값을 가지는 점)과 대칭축(포물선을 좌우 대칭으로 나누는 선)입니다.

대칭축 구하는 방법

이차함수 \( y = ax^2 + bx + c \)의 대칭축은 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

$$ x = \frac{-b}{2a} $$

대칭축 예제

이차함수 \( y = 2x^2 - 4x + 1 \)의 대칭축을 구해봅시다.

• 여기서 \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \)입니다.
• 대칭축 공식 적용: \( x = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1 \)

따라서, 대칭축은 \( x = 1 \)입니다.

꼭짓점 구하는 방법

꼭짓점의 x좌표는 대칭축의 식과 동일합니다.

즉, 꼭짓점의 x좌표는

$$ x = \frac{-b}{2a} $$

꼭짓점의 y좌표는 이 값을 함수식에 대입하여 구합니다.

$$ y = a \left(\frac{-b}{2a}\right)^2 + b \left(\frac{-b}{2a}\right) + c $$

꼭짓점 예제

앞서 구한 대칭축이 \( x = 1 \)인 함수 \( y = 2x^2 - 4x + 1 \)에서 꼭짓점을 구해봅시다.

• 대칭축 \( x = 1 \)을 함수에 대입
• \( y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 \)
• \( y = 2 - 4 + 1 = -1 \)

따라서, 꼭짓점은 \( (1, -1) \)입니다.

표준형을 이용한 꼭짓점 구하기

이차함수는 다음과 같은 **표준형(완전제곱식 형태)**으로 변환할 수 있습니다.

$$ y = a(x - h)^2 + k $$

여기서 꼭짓점은 **\( (h, k) \)**입니다.

표준형 변환 예제

이차함수 \( y = x^2 - 6x + 8 \)을 표준형으로 변환해봅시다.

• 완전제곱식 만들기: \( y = (x^2 - 6x) + 8 \)
• \( x^2 - 6x \) 부분을 완전제곱식으로 변형
• \( (x - 3)^2 - 9 \) (완전제곱식: \( (x - \frac{b}{2a})^2 \))
• \( y = (x - 3)^2 - 9 + 8 \)
• \( y = (x - 3)^2 - 1 \)

여기서 꼭짓점은 \( (3, -1) \)입니다.

대칭축과 꼭짓점의 의미

• 대칭축은 포물선을 정확히 절반으로 나누는 선으로, 꼭짓점의 x좌표와 동일합니다.
• 꼭짓점은 포물선의 최고점(최대값) 또는 최저점(최소값)입니다.
• 함수의 계수 \( a \)가 양수이면 꼭짓점이 최저점(위로 열린 포물선), 음수이면 꼭짓점이 최고점(아래로 열린 포물선)입니다.

결론

이차함수의 꼭짓점과 대칭축을 구하는 방법은 다음과 같습니다.

• **대칭축**: \( x = \frac{-b}{2a} \)
• **꼭짓점**: \( \left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right) \)
• 표준형 \( y = a(x - h)^2 + k \)에서 \( (h, k) \)가 꼭짓점

이차함수의 대칭성과 꼭짓점 개념을 확실히 이해하면 그래프를 쉽게 그릴 수 있으며, 실생활 문제에도 적용할 수 있습니다.