수학에서 정의하는 4차원이란? | 길이 너비 높이 | 테서랙트

4차원의 개념은 수학과 이론 물리학에서 매혹적이고 놀라운 주제입니다. 우리가 길이, 너비, 높이의 3차원 세계에 살고 있는 동안 수학자 및 과학자들은 일상적인 경험을 뛰어넘어 더 높은 차원을 탐구해 왔습니다. 이 글에서 우리는 4차원의 개념, 그것이 어떻게 정의되고 시각화되는지, 그리고 수학, 과학, 심지어 예술의 다양한 분야에서 그 중요성을 탐구할 것입니다.

1. 치수 이해: 길이, 너비, 높이 이외의 것

4차원의 개념을 이해하려면 먼저 차원이 무엇인지, 그리고 그것이 일상 경험과 어떤 관련이 있는지 이해해야 합니다. 수학에서 차원은 측정하거나 이동할 수 있는 방향을 나타냅니다. 가장 친숙한 차원은 3차원 세계의 차원입니다.

- 길이: 한 방향을 따른 측정값으로, 종종 x축으로 표시됩니다.

- 너비: 두 번째 방향을 따른 측정값으로, 주로 y축으로 표시됩니다.

- 높이: 세 번째 방향을 따른 측정값으로, 종종 z축으로 표시됩니다.

이 세 가지 차원을 통해 실제 세계에서 물체의 위치와 모양을 설명할 수 있습니다. 그러나 수학은 3차원에서 멈추지 않습니다. 더 높은 차원도 탐색할 수 있습니다.

2. 4차원 소개

4차원은 3차원 공간을 수학적으로 확장한 것입니다. 이는 우리의 일상적인 경험을 넘어서는 개념이지만 수학, 물리학, 컴퓨터 과학의 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 수학에서 4차원은 일반적으로 "4D"로 표시되며 종종 "w"라는 레이블이 붙는 추가 좌표축으로 표시됩니다.

공간 좌표(x, y, z)에 4차원을 추가하면 '4차원 공간'이 생성됩니다. 이 공간에서 객체는 길이, 너비, 높이뿐만 아니라 네 번째 좌표도 가지며, 이는 친숙한 세 가지 방향과 직교하는 새로운 방향에서 위치나 속성을 설명하는 데 사용할 수 있습니다.

- 4D 좌표: 4차원 공간의 점은 (x, y, z, w)로 표시되며, 여기서 각 좌표는 다른 차원으로. 예를 들어 (1, 2, 3, 4)는 3D 세계의 좌표 (1, 2, 3)와 4차원의 추가 좌표 4를 사용하여 4D 공간의 한 점을 나타냅니다.

- 시각화 과제: 4차원을 시각화하는 것은 우리의 두뇌가 3차원만 인식하는 데 익숙하기 때문에 어렵습니다. 그러나 수학자 및 예술가들은 정팔포체 및 하이퍼큐브와 같은 4D 개체 및 공간을 표현하고 탐색하기 위한 다양한 기술을 개발했습니다.

3. Tesseract: 4차원 기하학을 들여다보는 창

하이퍼큐브 또는 4D 큐브라고도 알려진 정팔포체는 4차원 기하학에서 가장 상징적이고 연구된 물체 중 하나입니다. 이는 3D 세계와 4차원 사이의 다리 역할을 하며 더 높은 차원 공간의 속성과 가능성에 대한 통찰력을 제공합니다.

- 정의: 정팔포체는 큐브의 4차원 아날로그입니다. 정육면체에 6개의 정사각형 면이 있는 것처럼 정팔포체에는 3차원 "면"으로 8개의 입방체 셀이 있습니다.

- 시각적 표현* 3D 세계에서 진정한 4D 정팔각형을 그리는 것은 불가능하지만 통찰력을 제공하는 시각적 표현을 만들 수 있습니다. 일반적인 표현 중 하나는 일련의 큐브가 4D 구조를 제안하는 방식으로 연결되는 "중첩 큐브" 접근 방식입니다.

- 테서랙트 이해하기: 테서랙트를 큐브 내의 큐브로 상상해 보세요. 내부 큐브는 4차원의 정팔포체의 한 상태를 나타내고, 외부 큐브는 또 다른 상태를 나타냅니다. 정팔각형이 변경됨에 따라 한 큐브에서 다른 큐브로 부드럽게 변형됩니다.

테서랙트는 단순한 수학적 호기심이 아닙니다. 컴퓨터 그래픽을 포함하여 비디오 게임 및 시뮬레이션에서 4D 효과를 만드는 데 사용되는 다양한 분야에 응용 프로그램이 있습니다.